Inverzní zobrazení

Inverzní zobrazení k nějakému zobrazení $f:A\rightarrow B$ přiřazuje prvkům z množiny B prvky množiny A, tedy obrazům zobrazení f jejich vzory. Laicky řečeno, inverzní zobrazení zobrazuje „opačným směrem“ než původní zobrazení.

Definice

Je-li $f:A\rightarrow B$ zobrazení, neboli $f=\left\lbrace (a,b)|a\in A,b\in B\right\rbrace$, pak inverzní zobrazení je $f^{-1}:B\rightarrow A$ takové, že $f^{-1}(b)=a\Leftrightarrow f(a)=b$ nebo také $(b,a)\in f^{-1}\Leftrightarrow (a,b)\in f$ (zde $f$ a $f^{-1}$ jsou ve smyslu relace). Z toho vyplývá, že zobrazení f musí být prosté, tzn. různým prvkům $a,a'$ musí přiřazovat různé prvky $b,b'$ - jinak by nebylo jednoznačně určeno, na co se má zobrazit prvek b v inverzním zobrazení.

Vlastnosti

Inverzní zobrazení je:

• prosté
• surjektivní („na“)
• $f(f^{-1}(x))=f^{-1}(f(x))=x$

Ke každému vzájemně jednoznačnému zobrazení lze nalézt zobrazení inverzní. Jestliže k nějakému zobrazení f existuje inverzní zobrazení, říkáme, že f je invertibilní nebo že vykazuje invertibilitu.

Inverzní funkce

Mějme funkci $y=f(x)$ s definičním oborem $D$ s oborem hodnot $V$. Inverzní funkcí k funkci $f$ nazveme funkci $x=g(y)$ s definičním oborem $V$, která každému $y\in V$ přiřadí právě to $x\in D$, pro které platí $y=f(x)$. Inverzní funkce k funkce $f$ bývá také zapisována jako $f^{-1}$.

Je-li f prostá funkce, pak k ní lze nalézt inverzní funkci. V takovém případě je graf inverzní funkce k f osově souměrný s grafem f podle osy 1. a 3. kvadrantu. Z toho plyne, že identická funkce $f(x)=x$ je inverzní sama k sobě.

Portály: Matematika