Hustota elektrického proudu

Hustota elektrického proudu, příp. prostorová hustota elektrického proudu (též zkráceně proudová hustota) je vektorová fyzikální veličina (má vedle velikosti i směr), popisující lokálního rozložení elektrického proudu v průřezu vodiče, v ploše napříč proudem. Její směr je stejný jako směr pohybu kladného náboje (v izotropním prostředí je to směr intenzity elektrického pole E).

Značení a jednotky

Hustota elektrického proudu má doporučenou značku J.

Hlavní jednotkou v soustavě SI je 1 ampér na čtverečný metr, mezinárodní značka A/m².

Definice

Hustota elektrického proudu je definována jako součin hustoty ρ elektrického náboje a rychlosti v jeho nosiče v daném místě, tedy

$\mathbf {J} =\rho \mathbf {v} \,$.

Její velikost je rovna podílu okamžitého elektrického proudu procházejícího daným elementem průřezu vodiče $\mathrm {d} S\,$ a kolmého průmětu tohoto elementu průřezu $\mathrm {d} S_{\perp }\,$na střední směr $\mathbf {n} \,$ pohybu nosičů nábojů, které proud I tvoří (tedy na směr tečny proudové čáry), takže

$\mathbf {J} ={\frac {I_{\mathrm {d} S}}{\mathrm {d} S_{\perp }}}\mathbf {n} \,$, což lze v integrálním tvaru zapsat vztahem pro proud I celým průřezem vodiče:

$I=\int _{S}\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} \,$.

V případě, že je proud po průřezu vodivého prostředí rozložený rovnoměrně, lze tento vztah zjednodušit na skalární vztah:

$J={\frac {I}{S_{\perp }}}\,$, kde $S_{\perp }\,$ je plocha průřezu kolmého na proud.

Použití

Hustota elektrického proudu vystupuje ve vztazích teorie elektromagnetického pole formulovaných v diferenciálním tvaru. Příkladem mohou být

• rovnice kontinuity (zákon zachování elektrického náboje v diferenciálním tvaru)

$\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0$,

• Ohmův zákon v diferenciálním tvaru

$\mathbf {J} =\sigma \mathbf {E}$,

• první Maxwellova rovnice:

$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{\mathrm {vol} }+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$.

Zobecnění

Jako u elektrického proudu lze rozdělit i hustotu na hustotu volného proudu a hustotu proudů vázaných (polarizačních a magnetizačních). Lze ji zobecnit i na případy, kdy nedochází k pohybu nositelů náboje, a definovat tzv. hustotu Maxwellova proudu:

$\mathbf {J} _{\mathrm {Max} }=\varepsilon _{0}\,{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$.

Příbuzné veličiny

K popisu plošného elektrického proudu (např. po povrchu válce nahrazujícího tyčový magnet) se zavádí vektorová fyzikální veličina délková hustota (elektrického) proudu (zkráceně délková proudová hustota).

Délková hustota (elektrického) proudu se značí J_S a její jednotkou je 1 ampér na metr (A/m).

Je definována obdobně jako proudová hustota s tím, že jde o plošnou hustotu ρ_A elektrického náboje, tedy

$\mathbf {J} _{S}=\rho _{A}\mathbf {v} \,$.

Je-li elementárním „průřezem“ nyní element délky křivky $\mathrm {d} l\,$, přes který proud protéká, pak:

$\mathbf {J} _{S}={\frac {I_{\mathrm {d} l}}{\mathrm {d} l_{\perp }}}\mathbf {n} \,$, což lze v integrálním tvaru zapsat vztahem pro proud celým délkovým „průřezem“ vodiče:

$I=\int _{l}\mathbf {J} _{S}\cdot {\boldsymbol {\nu }}\,\mathrm {d} l\,$, kde ${\boldsymbol {\nu }}\,$ je jednotkový vektor normály ke křivce $l\,$ ležící v ploše vodiče.

Hustota plošného elektrického proudu vystupuje ve vztazích teorie elektromagnetického pole formulovaných v diferenciálním tvaru, které se týkají plošných vodičů nebo plošných rozhraní. Příkladem může být rovnice pro změnu vektoru intenzity magnetického pole na plošném rozhraní protékaném proudem o délkové hustotě $\mathbf {J} _{S}\,$ (jednotkový vektor normály ${\boldsymbol {\nu }}\,$ směřuje z prostředí (2) do prostředí (1):

${\boldsymbol {\nu }}\times \left(\mathbf {H} _{1}-\mathbf {H} _{2}\right)=\mathbf {J} _{S}$.

Literatura

• Horák Z., Krupka F.: Fyzika, 3. vydání, SNTL v koedici s ALFA, Praha 1981
• Feynman, R. P., Leighton R. B., Sands M.: Feynmanovy přednášky z fyziky - díl 1/3, 1. české vydání, Fragment, 2000, ISBN 80-7200-405-0.
• Feynman, R. P., Leighton, R. B., Sands, M.: Feynmanovy přednášky z fyziky - díl 2/3, 1. české vydání, Fragment, 2006, ISBN 80-7200-420-4.
• Sedlák B., Štoll I.: Elektřina a magnetismus, 1. vydání, Academia, Praha 1993, ISBN 80-200-0172-7
• Kvasnica J.: Teorie elektromagnetického pole, 1. vydání, Academia, Praha 1985.
• Votruba V., Muzikář Č.: Theorie elektromagnetického pole, 1. vydání, Nakladatelství Československé akademie věd, Praha 1955.
• Stratton J. A.: Electromagnetic theory, McGraw-Hill, New York 1949. Český překlad Teorie elektromagnetického pole, SNTL, Praha 1961.