Husté uspořádání

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Husté uspořádání je matematický pojem z oboru teorie množin, konkrétněji z teorie uspořádání.
Motivací k zavedení tohoto pojmu je zobecnění vlastností množiny racionálních čísel při běžném uspořádání podle velikosti.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Řekneme, že ostré lineární uspořádání R na množině A je husté, pokud mezi každé dva různé prvky množiny A lze vložit jiný její prvek  ( \forall x,y \isin A) ( \exist z \isin A) ( x <_R z <_R y) \,\!

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Snadno se dá ověřit, že mezi každými dvěma různými prvky hustě uspořádané množiny leží nekonečně mnoho jejích prvků.
Budu-li uvažovat o běžném uspořádání čísel podle velikosti relací  < \,\! , pak

  • množina  \mathbb{R} \,\! všech reálných čísel je hustě uspořádaná
  • každý interval na množině reálných čísel je hustě uspořádaný
  • množina  \mathbb{Q} \,\! všech racionálních čísel je hustě uspořádaná, stejně jako každý její interval
  • množina přirozených čísel není hustě uspořádaná podle velikosti - například mezi 1 a 2 neexistuje žádné další přirozené číslo

Zajímavé je, že pro spočetné množiny lze při zkoumání vlastností hustých uspořádání vystačit s  \mathbb{Q} \,\! , jak ukazuje následující věta, vyslovená a dokázaná Georgem Cantorem:

Každá hustě uspořádaná spočetná množina bez nejmenšího a největšího prvku je izomorfní s  \mathbb{Q} \,\! .

Související články[editovat | editovat zdroj]