Hladké číslo

Hladké číslo je pojem z teorie čísel. Jako B-hladké se označuje takové celé číslo, že žádný z jeho prvočíselných dělitelů není větší než B.

Například číslo 1620 má prvočíselný rozklad 2² × 3⁴ × 5, je tedy 5-hladké, neboť žádný z jeho prvočíselných dělitelů není větší než 5. Jedná se také například o číslo 11-hladké nebo 6-hladké (na mez B není kladena podmínka, aby byla prvočíselná), ale nejedná se o číslo 4-hladké, protože má dělitele 5, který je větší než 4.

Použití

Hladká čísla jsou významná pro běh a analýzu různých algoritmů z teorie čísel. Příkladem jsou Pollardův p-1 algoritmus pro počítání prvočíselného rozkladu nebo Pohligův-Hellmanův algoritmus pro výpočet diskrétního logaritmu.

Rozložení hladkých čísel

Označíme-li $\scriptstyle \Psi(x,y)$ počet y-hladkých celých čísel menších nebo rovných x azvolíme-li B pevné a malé, pak platí následující odhad $\scriptstyle\psi(x,B)$

$\Psi(x,B) \sim \frac{1}{\pi(B)!} \prod_{p\le B}\frac{\log x}{\log p}.$

Pokud definujeme parametr u rovností x = 'y^u, tedy u = log x / log y, pak platí

$\Psi(x,y) = x\cdot \rho(u) + O\left(\frac{x}{\log y}\right)$

kde $\scriptstyle\rho(u)$ je Dickmanova funkce.

Posloupnosti

Pro dané B můžeme uvažovat posloupnost přirozených B-hladkých čísel. Několik takových posloupností pro malá B je zahrnuto v On-line encyklopedii celočíselných posloupností:

• 2-hladká čísla: A000079
• 3-hladká čísla: A003586
• 5-hladká čísla: A051037
• 7-hladká čísla: A002473
• 11-hladká čísla: A51038
• 13-hladká čísla: A80197
• 17-hladká čísla: A80681
• 19-hladká čísla: A80682
• 23-hladká čísla: A80683

V tomto článku byl použit překlad textu z článku smooth number na anglické Wikipedii.