Hahnova-Banachova věta

Hahnova-Banachova věta je věta z funkcionální analýzy, která tvrdí, že za jistých podmínek lze lineární funkcionál definovaný na nějakém podprostoru rozšířit na celý prostor tak, že se přitom nezmění jeho norma. Větu uveřejnili Hans Hahn a Stefan Banach koncem 20. let 20. století.

Existuje celá řada vzájemně více či méně ekvivalentních formulací této věty či jejích blízkých důsledků, které se často označují rovněž jako Hahnova-Banachova věta. Zde uvádíme formulaci, kterou použil Walter Rudin v knize Analýza v reálném a komplexním oboru:

Nechť $M$ je podprostor normovaného lineárního prostoru $X$ a $f$ je omezený lineární funkcionál na $M$. Potom existuje omezený lineární funkcionál $F$ na prostoru $X$, který je rozšířením $f$ a platí $\|f\| = \|F\|$.

Slovo rozšíření zde znamená, že $M$ patří do definičního oboru funkcionálu $F$ a oba funkcionály se na tomto podprostoru rovnají. Norma funkcionálu $\|f\|$ se definuje jako supremum podílu $|f(x)| / \|x\|$ přes všechny nenulové body $x$ definičního oboru. Hahnova-Banachova věta v této formulaci nevyžaduje, aby podprostor $M$ byl uzavřený, a platí bez ohledu na to, zda použité skaláry jsou reálná čísla či komplexní čísla.

Literatura

• Hans Hahn : Über lineare Gleichungssysteme in linearen Räumen. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 157 (1927), p. 214-229.
• Stefan Banach : Sur les fonctionnelles linéaires. In: Studia Mathematica 1 (1929), p. 211-216.