Hahnova-Banachova věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Hahnova-Banachova věta je věta z funkcionální analýzy, která tvrdí, že za jistých podmínek lze lineární funkcionál definovaný na nějakém podprostoru rozšířit na celý prostor tak, že se přitom nezmění jeho norma. Větu uveřejnili Hans Hahn a Stefan Banach koncem 20. let 20. století.

Existuje celá řada vzájemně více či méně ekvivalentních formulací této věty či jejích blízkých důsledků, které se často označují rovněž jako Hahnova-Banachova věta. Zde uvádíme formulaci, kterou použil Walter Rudin v knize Analýza v reálném a komplexním oboru[1]:

Nechť M je podprostor normovaného lineárního prostoru X a f je omezený lineární funkcionál na M. Potom existuje omezený lineární funkcionál F na prostoru X, který je rozšířením f a platí \|f\| = \|F\|.

Slovo rozšíření zde znamená, že M patří do definičního oboru funkcionálu F a oba funkcionály se na tomto podprostoru rovnají. Norma funkcionálu \|f\| se definuje jako supremum podílu |f(x)| / \|x\| přes všechny nenulové body x definičního oboru. Hahnova-Banachova věta v této formulaci nevyžaduje, aby podprostor M byl uzavřený, a platí bez ohledu na to, zda použité skaláry jsou reálná čísla či komplexní čísla.

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. Walter Rudin: Analýza v reálném a komplexním oboru, Academia, Praha 1977, s. 121

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • Hans Hahn : Über lineare Gleichungssysteme in linearen Räumen. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 157 (1927), p. 214-229.
  • Stefan Banach : Sur les fonctionnelles linéaires. In: Studia Mathematica 1 (1929), p. 211-216.