Grupoid (teorie kategorií)

Grupoid (teorie kategorií) je pojem z matematiky, přesněji z homotopické teorie a teorie kategorií. Grupoid zachycuje vlastnosti několika matematických struktur souvisejících s (neúplnými) symetriemi, konexemi, homotopií ad. Lze pomocí něj zachytit ale i strukturu excitací a deexcitací elektronů v obalu atomu.

Definice

Kategorii $C$ nazveme grupoid, pokud je každý morfizmus v $C$ mezi libovolnými dvěma objekty kategorie $C$ izomorfizmem.

Příklady

Grupa

Grupa je grupoid s jedním objektem. Objasněme tento příklad. Nechť $K$ je kategorie s jedním objektem $*$, v níž každý morfizmus je izomorfizmus. Sestrojme grupu $G$, jejíž prvky jsou právě všechny morfizmy z $K$, tj. elementy $Mor(K)$. Pro $a, b \in G$ definujme $a b \in G$ následovně. Jelikož $a, b \in Mor(K)$, jsou $a: * \to *$ i $b:*\to *$ morfizmy, které lze skládat (viz teorii kategorií). Výsledkem je morfizmus $c \in Mor(K)$, tj. prvek z $G$. Neutrální prvek v $G$ je definitoricky identita $id$ na $*$, která je dle definice kategorie jediná. Inverze k $a \in G$ se definuje jako inverzní morfizmus k $a \in Mor(K)$, který existuje dle definice grupoidu a je jediný dle definice kategorie. Asociativita na $G$ definovaného násobení plyne snadno z definice kategorie, kde je asociativita podmínkou, která musí být splněna pro operaci skládání morfizmů.

Obráceně lze ke každé grupě přiřadit jednoprvkový grupoid a tato konstrukce je inverzní ke konstrukce popsané v odstavci výše.

Symetrie dlaždiček

Představme si, že máme stěnu pokrytou dlaždičkami stejného obdélníkového tvaru o rozměrech 3 krát 4. Předpokládejme, že dlaždičky vyplňují právě obdélníkovou síť skládající se z např. 5 krát 7 dlaždiček. Zaveďme kartézskou souřadnou soustavu v rovině dlaždiček tak, že její počátek splývá s levým dolním rohem levé dolní dlaždičky, horizontální osa je rozdělena na 3 . 5 = 15 a vertikální na 4 . 7 = 28 dílků. Definujme grupoid $K$ symetrie dlaždiček následovně. Označme množinu všech dlaždiček symbolem $D$ a definujme $Ob(K):=D$. Pokud $x, y \in Ob(K)$, definujme $Mor(x,y):=\{f \in O(2,\mathbb{R})\times_s \mathbb{R}^2; f(x)=y\},$ kde $O(2,\mathbb{R})$ je grupa ortogonálních transformací v rovině, $\mathbb{R}^2$ reprezentuje translace vektory z $\mathbb{R}^2$ a $\times_s$ je tzv. polopřímý neboli semidirektní součin. Tj. morfizmus, mezi dvěma dlaždičkami je libovolný tuhý pohyb (složení translace s (event. nepřímou) rotací. Skládání morfizmů je definováno jako skládání zobrazení, pokud tyto skládat lze, tj. obor hodnot jednoho je definičním oborem druhého.

I když zobrazení z $Mor(K)$ působí na $Ob(K)$ tranzitivně, jednotlivé prvky z Ob(K) mají obecně různé stabilizátory, tj. „objekty“ $Stab(x):=\{f \in Mor(K); f(x)=x\}$ nejsou obecně izomorfní pro různá $x \in D$. (Poznamenejme, že není složité ověřit, že $Stab(x)$ jsou grupy, a tedy lze hovořit o izomorfnosti.) Tak např. stabilizátory dlaždiček „uvnitř“ stěny jsou různé od stabilizátorů těch v „rozích“ a různé od stabilizátorů těch na „hranách mimo rohy“. Je to tak proto, že vzniklý grupoid není grupa. Kdyby byl, byly by stabilizátory izomorfní.

Pokud uvažujeme složitější prostory, pocházející např. z teoretické fyziky nebo geometrie, než je prostor dlaždiček, můžeme právě porovnáváním různých stabilizátorů co do izomorfnosti matematicky zachytit fakt, že objekty, jako např. dlaždička v levém dolním a např. pravém dolním rohu jsou z hlediska symetrie stejné. Pojem grupy v tomto případě nepomůže přesně, neboť např. ne všechny translace lze skládat a přitom nevyjít z obloženého prostoru.

Elektronový obal atomu

Stručně řekněme, že tento grupoid je tvořen všemi přípustnými přechody elektronů v obalu atomu mezi jednotlivými „energetickými hladinami“. Jedná se zřejmě o grupoid, neboť přechody mezi hladinami jsou reverzibilní a navíc jejich skládání je asociativní. Tento grupoid souvisí s řešeními Schroedingerovy rovnice pro vlastní stavy hamiltoniánu atomu a příslušným poruchovým počtem.

Topologie

Nechť $X$ je topologický prostor, obecně ne nutně obloukově souvislý. Objekty grupoidu definujme jako body prostoru $X$. Morfizmy mezi dvěma objekty $x, y \in X$ definujme jako třídy ekvivalence spojitých oblouků spojujících bod $x$ s bodem $y$, přičemž řekneme, že dva oblouky jsou ekvivalentní, pokud jsou homotopické. Vzniklý objekt je grupoid, jak se snadno ověří, a navíc není grupou, pokud prostor $X$ není obloukově souvislý (oblouky ležící v různých komponentách obloukové souvislosti nelze skládat). Vzniklému grupoidu se říká homotopický grupoid. Pokud $X$ je obloukově souvislý, je homotopický grupoid izomorfní homotopické grupě.

Fíbrované bandly

Atlasy fíbrovaných bandlů, tj. množina dvojic otevřených okolí báze a na nich definovaných trivializujících map, tvoří také grupoid.

Poznámka

Pojem grupoid je často používán v současné algebraické geometrii, jejímž základním v současnosti „nejobecnějším“ objektem výzkumu (model „prostoru“ zkoumaný touto teorií) je tzv. zásobník (anglicky stack, francouzsky champs), což je kategorie fíbrovaná v kategorii grupoidů splňující jistou (technickou, ale podstatnou) podmínku lokality (tzv. podmínka efektivnosti sestupujících dat).

Grupoid je používán také v homotopické teorii, teorii konexí a v symplektické geometrii nebo v teorii deformačního kvantování.

Literatura

• A. Weinstein, Grupoids: unifying internal and external symmetry, arXiv:math/9602220.
• Waldschmidt, Moussa, Luck, Itzykson, From Number theory to Physics, Springer-Verlag, 1992.