Gravitační potenciál

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Gravitační potenciál je skalární fyzikální veličina, která vyčísluje potenciální energii tělesa o jednotkové hmotnosti (v jednotkách SI 1 kg) v gravitačním poli ostatních těles. Za místo s nulovým potenciálem se obvykle bere nekonečně vzdálený bod. Hodnota gravitačního potenciálu je proto záporná.

Protože gravitační potenciál vyjadřuje měrnou energii, je jeho jednotkou v soustavě SI joule na kilogram (J/kg).

Gradientem gravitačního potenciálu je gravitační zrychlení.

Gravitační potenciál hmotného bodu a kulově souměrného tělesa[editovat | editovat zdroj]

Gravitační potenciál hmotného bodu je v newtonovské fyzice vyjádřen vzorcem

\phi(r) = -\frac{GM}{r},
  • G je gravitační konstanta (někdy označována také \kappa)
  • M je hmotnost hmotného bodu
  • r je vzdálenost od hmotného bodu

Stejný vzorec platí (přesně) i pro gravitační potenciál vně sféricky symetrického tělesa (nad jeho povrchem), r pak vyjadřuje vzdálenost od středu takového tělesa. Proto lze například v astronomii nahradit ve výpočtech kosmická tělesa hmotnými body.

Gravitační potenciál sféricky symetrické kulové slupky je v dutině této slupky všude stejný. Gravitační zrychlení a tedy i tíha, způsobené touto slupkou, jsou proto uvnitř nulové. To umožňuje spočítat gravitační potenciál pod povrchem planet: pro výpočet se zahrne jen hmota planety, mající větší hloubku, než místo, pro nějž se potenciál počítá (Přesně to však platí pouze tehdy, je-li v dané hloubce hustota všude stejná).

Rychlost tělesa na kruhové dráze je v tomto potenciálu rovna Keplerovské rychlosti

v_k=\sqrt{\frac{GM}{r}},

Úniková rychlost je

v_{esc}=\sqrt{\frac{2GM}{r}}=\sqrt{2} \ v_k.

Plummerův potenciál[editovat | editovat zdroj]

Protože se hmotný bod špatně integruje, je nutné ho šikovně "rozmazat". Jedním ze způsobů, jak to udělat, je použít Plummerovu sféru, jejíž potenciál je

\phi_P(r) = -\frac{GM}{\sqrt{r^2 + b^2}},

kde b je parametr.

Z Poissonovy rovnice pak odvodíme funkční závislost hustoty \rho na poloměru r.

\rho_P(r) = \frac{3M}{4\pi b^3}\left(1+\frac{r^2}{b^2}\right)^{-5/2}

Přičemž tato hustota jde do nekonečna, ale nediverguje.

Kuzminův potenciál[editovat | editovat zdroj]

Analogie Plummerovy sféry ve válcových souřadnicích (opět "rozmazáváme" potenciál hmotného bodu).

\phi_K(R, z) = -\frac{GM}{\sqrt{R^2 + \left(a + |z|\right)^2}},

  • R je vzdálenost v rovině xy
  • a je parametr
  • |z| je absolutní hodnota vzdálenosti ve směru osy z.

Poissonova rovnice ve válcových souřadnicích vede na povrchovou hustotu

\Sigma_K(R) = \frac{aM}{2\pi \left(R^2 + a^2\right)^{3/2}}.

Miyamoto−Nagai potenciál[editovat | editovat zdroj]

Toto je zobecnění všech předchozích potenciálů.

\phi_{MN}(R,z) = -\frac{GM}{\sqrt{R^2 + \left(a + \sqrt{z^2 + b^2}\right)^2}}.

Pokud

  • a = 0 a b=0 ... přechází v potenciál hmotného bodu, neboť r = \sqrt{R^2 + z^2}
  • a=0 a b \neq 0 ... přechází v Plummerův potenciál
  • a \neq 0 a b=0 ... přechází v Kuzminův potenciál, neboť |z| = \sqrt{z^2}.

Tedy pokud je b \ll a, odpovídá to přibližně rozložení potenciálu disku s centrální výdutí (např. galaxie), pokud je b \gg a, dostáváme přibližně potenciál koule.

Z Poissonovy rovnice lze odvodit hustota

\rho_{MN}(R,z) = \left(\frac{b^2 M}{4\pi}\right) \frac{aR^2 + \left(a+3\sqrt{z^2 + b^2}\right)\left(a + \sqrt{z^2 + b^2}\right)^2}{\left[R^2 + \left(a+\sqrt{z^2 + b^2}\right)^2\right]^{5/2} \left(z^2 + b^2\right)^{3/2}}

Související články[editovat | editovat zdroj]