Normální rozdělení

Hustota normálního rozdělení pravděpodobnosti.

Normální (nebo Gaussovo) rozdělení pravděpodobnosti je jedno z nejdůležitějších rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny. Slovo "normální" zde není použito v obvyklém smyslu "obyčejné", "běžné". Jeho použití se vztahuje k staršímu významu "řídící se zákonem, předpisem nebo modelem".

Tímto rozdělením pravděpodobnosti se sice neřídí velké množství veličin, ale jeho význam spočívá v tom, že za určitých podmínek dobře aproximuje řadu jiných pravděpodobnostních rozdělení (spojitých i diskrétních).

V souvislosti s normálním rozdělením jsou často zmiňovány náhodné chyby, např. chyby měření, způsobené velkým počtem neznámých a vzájemně nezávislých příčin. Proto bývá normální rozdělení také označováno jako zákon chyb. Podle tohoto zákona se také řídí rozdělení některých fyzikálních a technických veličin.

Rozdělení pravděpodobnosti [editovat]

Normální rozdělení pravděpodobnosti s parametry $\mu$ a $\sigma^2$ , pro $-\infty<\mu<\infty$ a $\sigma^2>0$ , je pro $-\infty<x<\infty$ definováno hustotou pravděpodobnosti ve tvaru Gaussovy funkce

$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \mathrm{e}^{-\frac{{(x-\mu)}^2}{2\sigma^2}}$ .

Normální rozdělení se většinou značí $\operatorname{N}(\mu,\sigma^2)$ . Rozdělení $\operatorname{N}(0,1)$ bývá označováno jako normované (nebo standardizované) normální rozdělení. Normované normální rozdělení má tedy hustotu pravděpodobnosti

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}$ .

Charakteristiky rozdělení [editovat]

Grafy hustot normálního rozdělení s různými charakteristikami…

…a grafy odpovídajících distribučních funkcí.

Střední hodnota normálního rozdělení je

$\operatorname{E}(X) = \mu$

Normální rozdělení má rozptyl

$\operatorname{D}(X) = \sigma^2$

Pro medián dostaneme

$x_{0,5} = \mu$

Koeficient šikmosti normálního rozdělení je nulový, koeficient špičatosti je roven nule, tzn.

$\gamma_1=0$

$\gamma_2=0$

Momentovou vytvořující funkci normálního rozdělení lze zapsat ve tvaru

$m(z) = \mathrm{e}^{z\mu + \frac{z^2 \sigma^2}{2}}$

Pro přirozená čísla $k$ lze centrální momenty psát jako

$\mu_{2k-1}=0$

$\mu_{2k} = \frac{(2k)!}{k!2^k} \sigma^{2k}$

Distribuční funkce [editovat]

Distribuční funkcí normálního rozdělení je

$F(x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \mathrm{e}^{-\frac{{(t-\mu)}^2}{2\sigma^2}} \;\mathrm{d}t$ .

Distribuční funkci normálního rozdělení nelze vyjádřit elementárními funkcemi. Její hodnoty lze stanovit numericky (viz numerická integrace) nebo po transformaci $\frac{x-\mu}{\sigma}$ na rozdělení s $\mu=0$ a $\sigma=1$ hodnotu odečíst z tabulek (viz například [1]).

Vícerozměrné rozdělení [editovat]

Máme-li $s$ -rozměrný náhodný vektor $X$ , jehož sdružená hustota pravděpodobnosti má tvar

$f(x_1,x_2,...,x_s) = \frac{1}{\sqrt{{(2\pi)}^s {\left|\mathbf{C}\right|}}} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\mathbf{x}-\mathbf{\mu}\right)}^T \mathbf{C}^{-1} {\left(\mathbf{x}-\mathbf{\mu}\right)}}$

pro $-\infty<x_i<\infty$ , $i=1,2,...,s$ , kde $\mathbf{C}$ je symetrická, pozitivně definitní matice a $\mathbf{x} = {(x_1,x_2,...,x_s)}^T$ a $\mathbf{\mu} = {(\mu_1,\mu_2,...,\mu_s)}^T$ jsou sloupcové vektory. V takovém případě hovoříme o $s$ -rozměrném normálním rozdělení, které představuje zobecnění normálního rozdělení pro vícerozměrnou náhodnou veličinu.

Charakteristiky vícerozměrného rozdělení [editovat]

Momentovou vytvořující funkci lze vyjádřit jako

$m(z_1,z_2,...,z_s) = \mathrm{e}^{\left(\mathbf{z}^T\mathbf{\mu}+ \frac{\mathbf{z}^T \mathbf{C}\mathbf{z}}{2}\right)}$ .

Z předchozího vztahu lze odvodit, že $\mathbf{\mu}$ představuje vektor středních hodnot a $\mathbf{C}$ kovarianční matici.

Marginální rozdělení [editovat]

Marginálním rozdělením veličiny $X_i$ je jednorozměrné normální rozdělení $\operatorname{N}(\mu_i,\sigma_i^2)$ , marginálním rozdělením veličin $X_i, X_j$ pro $i\neq j$ je dvourozměrné normální rozdělení, atd.

Generování vícerozměrného rozdělení z jednorozměrného rozdělení [editovat]

Vektor X náhodných hodnot podle vícerozměrného normálního rozdělení můžeme generovat podle vztahu

$\bold X = \bold L \bold Z + \bold{\mu}$ .

L je dolní trojúhelníková matice získaná z kovarianční matice C užitím Choleského dekompozice.
Z je vektor náhodných hodnot, jehož složky odpovídají jednorozměrnému normálnímu rozdělení N(0,1).
μ je vektor středních hodnot.

Výpočet na počítači [editovat]

Tento článek potřebuje úpravy.

Můžete Wikipedii pomoci tím, že ho vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl, Encyklopedický styl a Odkazy.
Konkrétní problémy: tato část sem nepatří, Wikipedie není návodem, průvodcem ani učebnicí

Různé matematické programy obvykle umožňují výpočet hustoty pravděpodobnosti i distribuční funkce. V následujícím textu jsou uvedeny dva často používané programy: tabulkový kalkulátor Microsoft Excel a matematický software Matlab (respektive open-source klon GNU Octave).

	Excel	Matlab
Hustota pravděpodobnosti $f(x)$	`= NORMDIST(x; ; ; NEPRAVDA)` [2]	`normpdf(x, , )` [3]
Distribuční funkce $F(x)$	`= NORMDIST(x; ; ; PRAVDA)` [4]	`normcdf(x, , )` [5]
Inverzní distribuční funkce $F^{-1}(x)$	`= NORMINV(x; ; )` $0 < x < 1$ [6]	`norminv(x, , )` $0 \le x \le 1$ [7]