Gaussovo kvadraturní pravidlo

V mnoha aplikacích je potřeba vypočítat určitý integrál $\int_a^b f(x)dx$. Může se ovšem stát, že integrál nelze přesně vypočítat, nebo je jeho výpočet příliš složitý. V takovém případě je tedy vhodné integrál vhodně aproximovat. Jednou z možností je užít kvadraturních vzorců, $\displaystyle\int_a^bf(x)dx \approx \sum_{i=0}^nr_if(x_i)$ , mezi něž patří Newton-Cotesovy vzorce a dále také Gaussova kvadraturní formule. Pak platí $\displaystyle\int_a^bf(x)dx=\sum_{i=0}^nr_if(x_i)+E(f)$, kde $\displaystyle E(f)$ značí chybu kvadraturní formule.

Definice

Kvadraturní vzorec se nazývá Gaussův, má-li algebraický řád rovný $\displaystyle 2n+1$, tj. pro chybu kvadraturní formule platí $\displaystyle E(x^k)=0$ pro $k=1,\ldots, 2n+1$ a $E(x^{2n+2})\neq 0$.

Výpočet

Potřebujeme nalézt koeficienty $r_0, \ldots, r_n$ a uzly $x_0, \ldots, x_n$. Protože má Gaussův vzorec algebraický řád roven $\displaystyle 2n+1$, dostáváme soustavu $\displaystyle 2n+2$ rovnic o $\displaystyle 2n+2$ neznámých,
$\sum_{i=0}^nr_ix_i^k=\int_a^bx^kdx, k = 0, \ldots, 2n+1$.
Tyto neznámé lze však získat mnohem snadněji.
Pro danou funkci sestrojíme Hermiteův interpolační polynom $\displaystyle H_{2n+1}$, který splňuje podmínky $\displaystyle H_{2n+1}(x_i)=f(x_i)$ a $H^{(j)}_{2n+1}=f^{(j)}(x_i), i=0, \ldots n$, a tento polynom zintegrujeme. Dostáváme vztahy
$\int_a^bH_{2n+1}(x)dx=\sum_{i=0} ^nr_if(x_i)+ \sum_{i=0} ^nq_if'(x_i)$, kde
$r_i=\sum_{i=0}^n\int_a^b(1-2(x-x_i)l'_i(x_i))l_i^2(x)$ a $q_i=\sum_{i=0}^n\int_a^b (x-x_i)l_i^2$.
Nyní uvažujme kvadraturní vzorec $K(f)= \sum_{i=0}^n r_if(x_i)$. Platí totiž $\int_a^bf(x)dx=\sum_{i=0}^n r_i f(x_i) + E(f)$.

Vzorec je Gaussův, právě tehdy, když pro uzly $x_0,\ldots, x_n$ platí $\displaystyle\int_a^b\omega_{n+1}(x)p(x)dx=0$,
kde $\omega_{n+1}(x)=\displaystyle\prod_{i=0}^n(x-x_j)$, pro každý polynom $\displaystyle p$ stupně nejvýše $\displaystyle n$. Jinými slovy, je třeba, aby polynom $\displaystyle \omega_{n+1}(x)$ byl ortogonální ke všem polynomům stupně nejvýše $\displaystyle n$. Toto skutečně platí, máme totiž $q_i=\displaystyle \int_a^b (x-x_i)l^2_i(x)dx= \int _a^b(x-x_i)\frac{\prod_{\stackrel{j=0}{j\neq i}}^n(x-x_j)^2}{\prod_{\stackrel{j=0}{j\neq i}}^n(x_i-x_j)^2}dx=\int _a^b\omega_{n+1}(x)\frac{\prod_{\stackrel{j=0}{j\neq i}}^n(x-x_j)}{\prod_{\stackrel{j=0}{j\neq i}}^n(x_i-x_j)^2}dx=0$ dle předpokladu. Zbývá nalézt uzly $x_0, \ldots x_n$. Tyto uzly splňují podmínku $x_i=\frac{1}{2}(t_i(b-a)+a+b),i=0,\ldots, n$, kde $t_0, \ldots, t_n$ jsou kořeny Legendrova polynomu $\displaystyle P_{n+1}$ (tj. ortogonální polynomy s vahou 1 v intervalu $\left[-1,1\right]$, určené např. rekurencí $P_{m+1}(x)-\frac{2m+1}{m+1}xP_m(x)+\frac{m}{m+1}P_{m-1}(x)=0, P_0(x)=1, P_1(x)=x, m=1,\ldots$).

Související články

• Integrál