Gaussovo kvadraturní pravidlo

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

V mnoha aplikacích je potřeba vypočítat určitý integrál \int_a^b f(x)dx. Může se ovšem stát, že integrál nelze přesně vypočítat, nebo je jeho výpočet příliš složitý. V takovém případě je tedy vhodné integrál vhodně aproximovat. Jednou z možností je užít kvadraturních vzorců, \displaystyle\int_a^bf(x)dx \approx \sum_{i=0}^nr_if(x_i) , mezi něž patří Newton-Cotesovy vzorce a dále také Gaussova kvadraturní formule. Pak platí \displaystyle\int_a^bf(x)dx=\sum_{i=0}^nr_if(x_i)+E(f), kde \displaystyle E(f) značí chybu kvadraturní formule.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Kvadraturní vzorec se nazývá Gaussův, má-li algebraický řád rovný \displaystyle 2n+1, tj. pro chybu kvadraturní formule platí \displaystyle E(x^k)=0 pro  k=1,\ldots, 2n+1 a E(x^{2n+2})\neq 0.

Výpočet[editovat | editovat zdroj]

Potřebujeme nalézt koeficienty r_0, \ldots, r_n a uzly x_0, \ldots, x_n. Protože má Gaussův vzorec algebraický řád roven \displaystyle 2n+1, dostáváme soustavu \displaystyle 2n+2 rovnic o \displaystyle 2n+2 neznámých,
\sum_{i=0}^nr_ix_i^k=\int_a^bx^kdx, k = 0, \ldots, 2n+1.
Tyto neznámé lze však získat mnohem snadněji.
Pro danou funkci sestrojíme Hermiteův interpolační polynom \displaystyle H_{2n+1}, který splňuje podmínky \displaystyle H_{2n+1}(x_i)=f(x_i) a H^{(j)}_{2n+1}=f^{(j)}(x_i), i=0, \ldots n, a tento polynom zintegrujeme. Dostáváme vztahy
\int_a^bH_{2n+1}(x)dx=\sum_{i=0} ^nr_if(x_i)+ \sum_{i=0} ^nq_if'(x_i), kde
r_i=\sum_{i=0}^n\int_a^b(1-2(x-x_i)l'_i(x_i))l_i^2(x) a q_i=\sum_{i=0}^n\int_a^b (x-x_i)l_i^2.
Nyní uvažujme kvadraturní vzorec K(f)= \sum_{i=0}^n r_if(x_i). Platí totiž \int_a^bf(x)dx=\sum_{i=0}^n r_i f(x_i) + E(f).

Vzorec je Gaussův, právě tehdy, když pro uzly x_0,\ldots, x_n platí \displaystyle\int_a^b\omega_{n+1}(x)p(x)dx=0,
kde \omega_{n+1}(x)=\displaystyle\prod_{i=0}^n(x-x_j), pro každý polynom \displaystyle p stupně nejvýše \displaystyle n. Jinými slovy, je třeba, aby polynom \displaystyle \omega_{n+1}(x) byl ortogonální ke všem polynomům stupně nejvýše \displaystyle n. Toto skutečně platí, máme totiž q_i=\displaystyle \int_a^b (x-x_i)l^2_i(x)dx=  \int _a^b(x-x_i)\frac{\prod_{\stackrel{j=0}{j\neq i}}^n(x-x_j)^2}{\prod_{\stackrel{j=0}{j\neq i}}^n(x_i-x_j)^2}dx=\int _a^b\omega_{n+1}(x)\frac{\prod_{\stackrel{j=0}{j\neq i}}^n(x-x_j)}{\prod_{\stackrel{j=0}{j\neq i}}^n(x_i-x_j)^2}dx=0 dle předpokladu. Zbývá nalézt uzly x_0, \ldots x_n. Tyto uzly splňují podmínku  x_i=\frac{1}{2}(t_i(b-a)+a+b),i=0,\ldots, n, kde t_0, \ldots, t_n jsou kořeny Legendrova polynomu \displaystyle P_{n+1} (tj. ortogonální polynomy s vahou 1 v intervalu \left[-1,1\right], určené např. rekurencí P_{m+1}(x)-\frac{2m+1}{m+1}xP_m(x)+\frac{m}{m+1}P_{m-1}(x)=0, P_0(x)=1, P_1(x)=x, m=1,\ldots).

Související články[editovat | editovat zdroj]