Gaussova funkce

Grafy normalizovaných gaussovských funkcí s různými parametry

Gaussova funkce pojmenovaná po matematikovi Carlu Friedrichu Gaussovi je reálná funkce jedné reálné proměnné $x$ se třemi parametry $a,\mu,\sigma$ ve tvaru

$f\left(x\right) = a e^{- { \frac{\left(x-\mu\right)^2 }{ 2 \sigma^2} } } \,.$

Čísla $a$ a $\sigma$ musí být kladná, $\mu$ je libovolné reálné, $e$ je Eulerovo číslo (2,71828...). Graf funkce má v bodě $x=\mu$ vrchol o výšce $a$, který graf dělí na dvě vzájemně souměrné části – levou rostoucí z 0 a pravou klesající asymptoticky zpět k 0. Parametr $\sigma$ určuje šířku „kopce“ ve výšce $a e^{-1/8} \approx 0{,}8825\,a$. V polovině výšky má graf šířku $2\sigma\sqrt{2\ln 2} \approx 2{,}3548\,\sigma$.

Normalizované funkce

Gaussova funkce se velmi často používá ve významu hustoty pravděpodobnosti. V takovém případě musí být její integrál přes celý definiční obor (plocha pod grafem) roven 1, což představuje pravděpodobnost jistého jevu.

$\int_{-\infty}^\infty f\left(x\right) \,{\mathrm d}x = 1$

Tuto tzv. normalizační podmínku můžeme splnit vhodnou volbou konstanty $a$. Nejjednodušší gaussovskou funkcí je $g(x) = e^{-x^2}$, jejíž integrál je roven $\sqrt\pi$ (viz Gaussův integrál), takže její normalizovaná verze musí mít tvar

$g_{\mathrm n}(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2} \,.$

Parametr $\mu$ pouze posouvá graf podél osy $x$, takže nemá vliv na hodnotu integrálu. Parametr $\sigma$ graf rozšiřuje a integrál se přitom násobí číslem $\sigma\sqrt2$. Obecná normalizovaná Gaussova funkce tedy musí mít tvar

$f_{\mathrm n}(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{- { \frac{\left(x-\mu\right)^2 }{ 2 \sigma^2} } } \,.$

Parametr $\mu$ má v tomto případě význam střední hodnoty náhodné veličiny a parametr $\sigma$ je směrodatná odchylka.

Fourierova transformace

Z matematického a fyzikálního hlediska jsou Gaussovy funkce významné také tím, že při $\mu=0$ je Fourierovým obrazem funkce opět Gaussova funkce, obecně s jinými parametry.

$\hat{f}(\xi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-i\xi x}\, {\mathrm d}x = a\sigma e^{- \sigma^2\xi^2/2 }$

Je-li navíc $\sigma=1$, je Gaussova funkce obrazem sama sebe ($\hat{f}=f$), takže představuje pevný bod Fourierovy transformace. Z normalizovaných funkcí má tuto vlastnost pouze jediná.

$f_{\mathrm n}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$

Odkazy

Související články

• Normální rozdělení

Externí odkazy

• Gaussian Function – Wolfram MathWorld