Gaussova funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Grafy normalizovaných gaussovských funkcí s různými parametry

Gaussova funkce pojmenovaná po matematikovi Carlu Friedrichu Gaussovi je reálná funkce jedné reálné proměnné x se třemi parametry a,\mu,\sigma ve tvaru

f\left(x\right) = a e^{- { \frac{\left(x-\mu\right)^2 }{ 2 \sigma^2} } } \,.

Čísla a a \sigma musí být kladná, \mu je libovolné reálné, e je Eulerovo číslo (2,71828...). Graf funkce má v bodě x=\mu vrchol o výšce a, který graf dělí na dvě vzájemně souměrné části – levou rostoucí z 0 a pravou klesající asymptoticky zpět k 0. Parametr \sigma určuje šířku „kopce“ ve výšce a e^{-1/8} \approx 0{,}8825\,a. V polovině výšky má graf šířku 2\sigma\sqrt{2\ln 2} \approx 2{,}3548\,\sigma.

Normalizované funkce[editovat | editovat zdroj]

Gaussova funkce se velmi často používá ve významu hustoty pravděpodobnosti. V takovém případě musí být její integrál přes celý definiční obor (plocha pod grafem) roven 1, což představuje pravděpodobnost jistého jevu.

\int_{-\infty}^\infty f\left(x\right) \,{\mathrm d}x = 1

Tuto tzv. normalizační podmínku můžeme splnit vhodnou volbou konstanty a. Nejjednodušší gaussovskou funkcí je g(x) = e^{-x^2}, jejíž integrál je roven \sqrt\pi (viz Gaussův integrál), takže její normalizovaná verze musí mít tvar

g_{\mathrm n}(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2} \,.

Parametr \mu pouze posouvá graf podél osy x, takže nemá vliv na hodnotu integrálu. Parametr \sigma graf rozšiřuje a integrál se přitom násobí číslem \sigma\sqrt2. Obecná normalizovaná Gaussova funkce tedy musí mít tvar

f_{\mathrm n}(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{- { \frac{\left(x-\mu\right)^2 }{ 2 \sigma^2} } } \,.

Parametr \mu má v tomto případě význam střední hodnoty náhodné veličiny a parametr \sigma je směrodatná odchylka.

Fourierova transformace[editovat | editovat zdroj]

Z matematického a fyzikálního hlediska jsou Gaussovy funkce významné také tím, že při \mu=0 je Fourierovým obrazem funkce opět Gaussova funkce, obecně s jinými parametry.

\hat{f}(\xi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-i\xi x}\, {\mathrm d}x = a\sigma e^{- \sigma^2\xi^2/2  }

Je-li navíc \sigma=1, je Gaussova funkce obrazem sama sebe (\hat{f}=f), takže představuje pevný bod Fourierovy transformace. Ze všech normalizovaných funkcí má tuto vlastnost pouze jediná:

f_{\mathrm n}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} \,.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]