Gaussův obor integrity

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Gaussův obor integrity neboli obor integrity s jednoznačným rozkladem je v algebře, volně řečeno, takový okruh, ve kterém platí analogie Základní věty aritmetiky, totiž že každý jeho prvek (až na určité výjimky) je možno v jistém smyslu jednoznačně vyjádřit jako součin prvočinitelů.

Každý obor hlavních ideálů je Gaussovým oborem a Gaussův obor je vždy oborem integrity. Pro každé dva prvky Gaussova oboru existuje největší společný dělitel a nejmenší společný násobek.

Formální definice[editovat | editovat zdroj]

Gaussův obor je takový obor integrity R, v kterém je každý nenulový prvek x zapsat jako (nikoliv nutně neprázdný) součin ireducibilních prvků a jednotky u:

x = u p1 p2 ... pn kde n≥0

přičemž je tento součin jednoznačný následujícím způsobem: Jsou-li q1,...,qm ireducibilní prvky R a w je jednotka R přičemž

x = w q1 q2 ... qm with m≥0,

pak platí n=m a existuje bijekce φ : {1,...,n} {1,...,m} taková, že pi je asociovaný prvek s qφ(i) pro všechna i ∈ {1, ..., n}.

Příklady[editovat | editovat zdroj]