Gabrielův roh

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Možná hledáte: Gideonova trumpeta.
3D ilustrace Gabrielova rohu

Gabrielův roh (rovněž nazývaný Torricelliho trumpeta) je geometrický útvar, který má nekonečně velký povrch a přesto obepíná konečný objem. Tento název odkazuje na tradiční pojetí archanděla Gabriela jako anděla, jenž bude troubit na roh při oznámení Soudného dne, a spojí tak nekonečno s božskostí. Vlastnosti tohoto tvaru byly poprvé studovány italským fyzikem a matematikem Evangelistou Torricellim.

Matematická definice[editovat | editovat zdroj]

Gabrielův roh je vytvořen rotací grafu y= \frac{1} {x} v oboru x \ge 1 (tím se vyhneme asymptotě v bodě x = 0) v trojrozměrném prostoru okolo osy x. Objev byl sice učiněn s použitím Cavalierova principu před vynalezením kalkulu, nicméně dnes můžeme použít k výpočtu objemu a povrchu rohu mezi x = 1 a x = a, kde a, diferenciální a integrální počet. Užitím integrace (viz Rotační těleso a Rotační plocha) je možné spočítat objem V a povrch A:

V = \pi \int_{1}^{a} {1 \over x^2}\mathrm{d}x = \pi \left( 1 - {1 \over a} \right)
S = 2\pi \int_1^a \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x^4}}}{x}\mathrm{d}x > 2\pi \int_1^a \frac{\sqrt{1}}{x}\ \mathrm{d}x = 2\pi \ln a.

a může být zastoupeno jakýmkoliv číslem, ale z rovnice lze vyčíst, že objem části rohu mezi x = 1 a x = a nikdy nepřesáhne \pi. Nicméně s rostoucím a se bude k \pi více a více přibližovat. Matematicky řečeno, objem se blíží \pi, když se a blíží nekonečnu. Užitím notace limit lze objem vyjádřit jako:


\lim_{a \to \infty}\pi \left( 1 - {1 \over a} \right) = \pi.

Platí to, protože blíží-li se a nekonečnu, 1/a se blíží nule. To znamená, že objem je roven \pi(1-0), což se rovná \pi.

Co se týče povrchu, výše zmíněná rovnice ukazuje, že povrch je větší než 2\pi krát přirozený logaritmus a. Přirozený logaritmus nemá žádnou horní hranici pro a blížící se nekonečnu. Tedy v tomto případě má roh nekonečně velký povrch. Čili:

2 \pi \ln a \rightarrow \infty as  a \rightarrow \infty

nebo

\lim_{a \to \infty}2 \pi \ln a = \infty.

Zjevný paradox[editovat | editovat zdroj]

Když byly objeveny vlastnosti Gabrielova rohu, byla skutečnost, že rotace nekonečné křivky okolo osy x generuje objekt konečného objemu, považována za paradoxní. Vysvětlením ovšem je, že hraniční křivka, y= \tfrac{1}{x}, je jednoduše zvláštním případem –podobně jako harmonická řada(Σ1/x1), v níž po sobě následující plošné 'segmenty' se nezmenšují dostatečně rychle, aby mohla limita konvergovat. Pro objemové segmenty (Σ1/x2) a fakticky pro kteroukoliv obecně konstruovanou křivku vyššího stupně (např. y = 1/x1.001) toto neplatí a rychlost poklesu v odpovídající řadě je dostatečně velká na to, aby řada konvergovala ke konečnému limitnímu součtu.

Christiaan Huygens a François Walther de Sluze objevili rotační povrch s příbuznými vlastnostmi: nekonečně vysoké pevné těleso s konečným objemem(takže je možné toto těleso vyrobit s konečným množstvím materiálu), které obepíná nekonečně velkou dutinu. Toto těleso bylo získáno rotací nenulové části z Dioklovy cisoidy y^2=\tfrac{x^3}{1-x} definované na 0 ≤ x < 1 okolo osy y. De Sluze tento objekt popsal jako "nádobu k pití, která málo váží, ale kterou ani největší pijan nedokáže vyprázdnit".

Tyto dva paradoxy společně tvořili část rozsáhlého sporu nad povahou nekonečnosti. Tímto sporem se zabývalo mnoho klíčových myslitelů tehdejší doby, mezi něž patří např.Thomas Hobbes, John Wallis a Galileo.

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Gabriel's Horn na anglické Wikipedii.