Fundovaná relace

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Fundovaná relace je matematický pojem z oboru teorie množin, který popisuje druh relace podobný dobrému uspořádání.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Relace R je fundovaná na třídě A, jestliže každá její neprázdná podmnožina  \emptyset \neq B \subseteq A \,\! R-minimální prvek označovaný symbolem  min_R(B) \,\! .
Prvek  x = min_R(B) \,\! označíme za R-minimální prvek množiny B, pokud platí
 x \isin B \and ( \forall y \isin B) \neg ( [y,x] \isin R ) \,\!

Vysvětlení a vlastnosti pojmu[editovat | editovat zdroj]

R-minimální prvek je takový prvek nějaké podmnožiny B, pro který neexistuje žádný menší (ve smyslu relace R) v této podmnožině. Důvod, proč nemluvíme rovnou o minimálním prvku je ten, že nikde není řečeno, že fundovaná relace R je uspořádání - což ostatně opravdu nemusí být pravda.

Fundovaná relace totiž opravdu nemusí být uspořádání, i když na první pohled trochu připomíná ostré uspořádání. Problém je v tom, že fundovaná relace nemusí být (na rozdíl od uspořádání) tranzitivní.

Příklad: Na tříprvkové množině  \{ 1,2,3 \} \,\! definujme relaci  R = \{ [1,2], [2,3] \} \,\! . Snadno se dá ověřit, že taková relace je fundovaná, ale není tranzitivní - to by totiž musela obsahovat i uspořádanou dvojici  [1,3] \,\! .

Fundovaná relace nesmí obsahovat žádný konečný cyklus (v tom se podobá ostrému uspořádání).
Kdybychom v předchozím příkladě přidali dvojici  [3,1] \,\! , vznikla by relace  R  = \{ [1,2], [2,3], [3,1] \} \,\! , která již není fundovaná - množina  \{ 1,2,3 \} \,\! nemá v tomto případě žádný R-minimální prvek.

Fundovaná relace nesmí obsahovat žádnou nekonečnou klesající posloupnost (v tom se podobá dobrému uspořádání).
Pokud najdu posloupnost prvků  a_0, a_1, a_2, \ldots \,\! takových že pro každé i je  [a_{i+1},a_i] \isin R \,\! , pak množina  \{ a_0, a_1, a_2, \ldots \} \,\! nemá žádný R-minimální prvek.

Konečný cyklus je zvláštní případ, vedoucí na nekonečnou klesající posloupnost - pokud se vrátím k předchozímu příkladu s relací  R  = \{ [1,2], [2,3], [3,1] \} \,\! , můžu sestojit nekonečnou klesající posloupnost  \{ 3,2,1,3,2,1,3,2,1,3, \ldots \} \,\! .

Z axiomu výběru se dá ukázat, že relace R je fundovaná tehdy a jen tehdy, když neobsahuje nekonečnou klesající posloupnost.

Význam pojmu[editovat | editovat zdroj]

Axiom fundovanosti[editovat | editovat zdroj]

Motivace k zavedení pojmu a jeho význam vyplývá z axiomu fundovanosti.

Tento axiom lze v ekvivalentní podobě zapsat jako  \mathbb{WF} = \mathbb{V} \,\! , kde  \mathbb{WF} \,\! je fundované jádro a  \mathbb{V} \,\! univerzální třída, tj. třída všech množin.

Podstatou důkazu výše uvedené ekvivalence, je věta, podle které je  \mathbb{WF} \,\! největší tranzitivní třída, na které je relace  \isin \,\! fundovaná.

Transfinitní indukce a rekurze[editovat | editovat zdroj]

Na každé třídě s fundovanou relací takovou, že levým obrazem každého prvku je množina (a ne vlastní třída), se dá provádět fundovaná indukce a fundovaná rekurze, jejichž speciálním případem je transfinitní indukce a transfinitní rekurze přes fundovanou operaci náležení na ordinálních číslech; ještě speciálnějšími případy jsou matematická indukce a rekurze přes přirozená čísla.

Související články[editovat | editovat zdroj]