Frekvenční modulace

Principem frekvenční modulace (FM) je závislost okamžité frekvence nosné vlny na změnách amplitudy modulačního signálu. Můžeme říct, že okamžitá úhlová frekvence $\Omega (t)$ je funkcí času a mění se v rytmu okamžité výchylky modulačního signálu. Informace je tedy kódována nikoliv změnou amplitudy nebo fáze, ale změnou frekvence nosné vlny. Maximální amplitudě napětí modulačního průběhu $U_{m}$ odpovídá maximální změna frekvence nosné, kterou nazýváme frekvenční zdvih a značíme $\Delta f$, čemuž odpovídá úhlová frekvence $\Delta \Omega$.

Matematický popis

Ukázka časového průběhu frekvenčně modulovaného signálu.

Obecně bude mít nosná vlna následující průběh:

$u_{n}(t)=U_{n}\sin(\Omega t+\phi )\,$

kde $U_{n}$ je amplituda nosné, $\Omega$ je úhlová frekvence nosné a $\phi$ fáze.

V případě frekvenční modulace je funkcí času právě úhlová frekvence $\Omega$.

Úhlovou frekvenci jako harmonickou funkci času můžeme vyjádřit vztahem:

$\Omega (t)=\Omega +\Delta \Omega \cos(\omega t)\,$

kde $\Delta \Omega$ je frekvenční zdvih, $\omega$ pak úhlová frekvence modulační vlny.

Po dosazení do rovnice nosné vlny a položením fázového posuvu $\phi =0$ (jeho velikost je konstantní a nemá vliv na výsledek dalších odvození a výpočtů) dostáváme vztah:

$u_{n}(t)=U_{n}\sin((\Omega +\Delta \Omega \cos(\omega t))t)=U_{n}\sin(\Phi (t,\omega ))\,$

kde funkce $\Phi (t,\omega )$ je okamžitá fáze napětí a pro $\phi =0$ je integrálem úhlové frekvence $\Omega (t)$ podle $t$. Platí tedy:

$\Phi (t,\omega )=\int \Omega (t)\,\mathrm {d} t=\int (\Omega +\Delta \Omega \cos(\omega t))\mathrm {d} t=\Omega t+{\frac {\Delta \Omega }{\omega }}\sin(\omega t)$

Dále zavádíme parametr zvaný modulační index FM označený $m_{FM}$:

$m_{FM}={\frac {\Delta \Omega }{\omega }}={\frac {2\pi \Delta f}{2\pi f_{m}}}$

kde $\Delta f$ je frekvenční zdvih a $f_{m}$ frekvence modulačního signálu.

Dosazením funkce $\Phi (t,\omega )$ zpět do rovnice $u_{n}=U_{n}\sin(\Phi (t,\omega ))\,$ dostáváme obvyklý tvar rovnice frekvenčně modulované vlny:

$u_{n}=U_{n}\sin(\Omega t+m_{FM}\sin(\omega t))\,$

kde $u_{n}$ je okamžitá hodnota napětí modulovaného signálu, $U_{n}$ amplituda nosné vlny, $\Omega$ úhlová frekvence nosné vlny, $m_{FM}$ modulační index a $\omega$ frekvence modulační vlny.

Spektrum frekvenčně modulovaného signálu

Úpravou rovnice frekvenčně modulované vlny podle vzorce pro součin argumentů funkce sinus získáme rovnici ve tvaru:

$u_{n}=U_{n}(\sin(\Omega t)\cos(m_{FM}\sin(\omega t))+\cos(\Omega t)\sin(m_{FM}\sin(\omega t)))\,$

Dále platí, že lze provést tento rozvoj:

$\sin(m_{FM}\sin(\omega t))=2J_{1}(M_{FM})\sin(\omega t)+2J_{3}(M_{FM})\sin(3\omega t)+2J_{5}(M_{FM})\sin(5\omega t)+\cdots \,$

$\cos(m_{FM}\sin(\omega t))=J_{0}(M_{FM})+2J_{2}(M_{FM})\cos(2\omega t)+2J_{4}(M_{FM})\cos(4\omega t)+\cdots \,$

Vidíme, že vzniká nekonečná řada součinů. Funkce označené jako $J_{n}(m_{FM})$ jsou Besselovy funkce I. druhu n-tého řádu s argumentem $m_{FM}$, což je modulační index FM. Dosazením do poslední rovnice a další úpravou podle vzorců pro součiny goniometrických funkcí získáme nekonečnou řadu diskrétních složek o úhlových frekvencích:

$\Omega ,\Omega -\omega ,\Omega -2\omega ,\Omega -3\omega ,\Omega -4\omega ,\Omega -5\omega ,\dots \,$

$\Omega +\omega ,\Omega +2\omega ,\Omega +3\omega ,\Omega +4\omega ,\Omega +5\omega ,\dots \,$

Spektrum frekvenčně modulovaného signálu pro modulační index 3.3, používaného pro přenos TV zvuku.

Z výše uvedeného rozvoje vyplývá, že frekvenční modulace jednou frekvencí $\omega$ vytvoří nekonečně mnoho postranních frekvencí, jež jsou rozmístěny symetricky na obě strany od nosné frekvence ve vzdálenostech daných násobky modulační frekvence $\omega$. Amplitudy nosné vlny i jednotlivých postranních frekvencí jsou dány hodnotami Besselových funkcí I. druhu $J_{n}(m_{FM})$ a jsou tedy závislé na modulačním indexu. Směrem od nosné tyto amplitudy postupně klesají, nikoliv však monotónně. Pro některé konkrétní hodnoty modulačního indexu mohou jednotlivé složky zcela vymizet (hodnota funkce $J_{n}(m_{FM})$ je právě nulová). Stejně tak může vymizet i nosná vlna, platí-li, že $J_{0}(m_{FM})=0$. Vzhledem ke klesajícím hodnotám amplitud jednotlivých složek klesá jejich vliv na kvalitu přenosu. Pro dostatečně kvalitní přenos pak stačí přenášet pouze několik prvních postranních frekvencí. Kolik je jich v konkrétním případě třeba závisí na modulačním indexu a přípustné degradaci přenášeného signálu. Pro kvalitní přenos je třeba modulační index zhruba 3 až 5. Nižší způsobuje větší zkreslení, vyšší zhoršuje odstup signál / šum. Pro zlepšení šumových poměrů se při FM přenosu běžně používá nadzvednutí vyšších frekvencí modulačního spektra (nízkofrekvenční preemfáze a deemfáze).

Potřebná šířka přenosového pásma je závislá na modulačním indexu $m_{FM}$. Pro hodnotu $m_{FM}=5$ se uvádí následující empirický vzorec:

$B\geq 2(\Delta f+f_{max})\,$

kde $\Delta f$ je frekvenční zdvih a $f_{max}$ je maximální modulační frekvence.

Využití

FM je běžně využívána v pásmu VHF pro kvalitní přenos zvuku. Zvuk u klasických analogových televizních soustav je také přenášen za použití frekvenční modulace, pro komerční i radioamatérské komunikační účely je využívána její úzkopásmová forma. Dalším využitím je FM syntéza, která získala oblibu díky raným syntezátorům a stala se standardním způsobem syntézy zvuku u několika generací zvukových karet. Bez FM by se taktéž neobešel analogový magnetický záznam obrazu, kde je s malým modulačním indexem používána pro snížení oktávového rozsahu zaznamenávaného signálu, a to z cca 18 oktáv na méně než 3 oktávy.

Parametry některých aplikací FM

Služba	$f_{max}$	$\Delta f$	$m_{FM}$
FM rozhlas mono	15 kHz	75 kHz	5
FM rozhlas stereo	53 kHz	75 kHz	1,42
TV zvuk	15 kHz	50 kHz	3,33
Komunikační účely			< 0,5

Související články

• Modulace
• Amplitudová modulace
• Fázová modulace
• Pulzní modulace

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu frekvenční modulace na Wikimedia Commons
• Metody frekvenční modulace a demodulace
• Problémy s příjmem FM
• Norsko skončilo s FM a přešlo na DAB, Lupa.cz, 15.12.2017

Autoritní data	PSH: 9865 BNF: cb11950829t (data) GND: 4155410-3 LCCN: sh85110474 NLI: 987007558365005171