Formální derivace

V matematice, formální derivace označuje operaci nad prvky okruhu polynomů či okruhu mocninných řad, která se chová jako derivace z diferenciálního počtu. Ačkoli vypadají obdobně, výhodou formální derivace je, že nevyžaduje k definici limitní přechod, který v některých okruzích není možno použít. Mnoho vlastností derivací z diferenciálního počtu platí i pro formální derivace, některé naopak ani nedávají smysl. Základním použitím formálních derivací je oddělení kořenů polynomu různé násobnosti.

Definice

Pro daný komutativní okruh R nechť A = R[x] je okruh polynomů nad R. Pak formální derivace je operace nad prvky okruhu A, kde pro

$f(x)\,=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$

je formální derivace

$f'(x)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{i}a_{i}x^{i-1},$

což přesně odpovídá vztahům pro polynomy nad reálnými či komplexními čísly.

(Běžně značíme součet $i$ konstantních sčítanců $s$ výrazem $i\cdot s$, v tomto případě uvádíme součet abychom předešli záměně s násobením v okruhu R.)

Vlastnosti

Není těžké ověřit, že:

• Formální derivace je lineární: pro libovolné dva polynomy f(x), g(x) a prvky r, s okruhu R, platí

$(r\cdot f+s\cdot g)'(x)=r\cdot f'(x)+s\cdot g'(x).$

• Formální derivace splňuje pravidlo derivace součinu:

$(f\cdot g)'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x).$

Důkazy

$(r\cdot f+s\cdot g)'(x)=(r\sum _{i}f_{i}x^{i}+s\sum _{i}g_{i}x^{i})'=(\sum _{i}(rf_{i}+sg_{i})x^{i})'=$ $=(\sum _{i}\sum _{j=1}^{i}(rf_{i}+sg_{i})x^{i-1})=r\sum _{i}f_{i}x^{i-1}+s\sum _{i}g_{i}x^{i-1}=r\cdot f'(x)+s\cdot g'(x).$

$(f\cdot g)'(x)=(\sum _{i}\sum _{j}f_{i}g_{j}x^{i+j})'=\sum _{i}\sum _{j}\sum _{k=1}^{i+j}f_{i}g_{j}x^{i+j-1}=$ $=\sum _{i}\sum _{j}(\sum _{k=1}^{i}f_{i}g_{j}x^{(i-1)+j}+\sum _{k=1}^{j}f_{i}g_{j}x^{i+(j-1)})=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x).$

Vztah k derivaci z diferenciálního počtu

Pokud je okruh R komutativní, existuje alternativní ekvivalentní definice formální derivace, která mnohem víc připomíná definici z diferenciálního počtu. Prvek Y-X okruhu R[X,Y] dělí Yⁿ – Xⁿ pro libovolné nezáporné celé n, a proto dělí f(Y) – f(X) pro libovolný polynom f s jednou proměnnou. Pokud označíme výsledný podíl (v R[X,Y]) pomocí g:

$g(X,Y)={\frac {f(Y)-f(X)}{Y-X}},$

pak není těžké ověřit, že g(X,X) (v R[X]) dává stejnou definici jako formální derivace f definovaná výše.

Tato formulace formální derivace je použitelná i pro mocninné řady, (za předpokladu, že okruh R skalárů je komutativní).

Definice použitelná i pro nekomutativní okruhy

Nechť pro $r\in R$ je $r'=0,$ nechť $x'=1.$ Dodefinujme derivaci pro výrazy tak, aby $(a+b)'=a'+b'$ a $(a\cdot b)'=a'\cdot b+a\cdot b'.$

Je potřeba dokázat, že takto definovaná derivace dává stejné výsledky nezávisle na tom, jak spočteme daný výraz, tedy, že je kompatibilní se všemi axiomy rovnosti.

• $(a+b)'=a'+b'=b'+a'=(b+a)',$
• $((a+b)+c)'=(a+b)'+c'=(a'+b')+c'=a'+(b'+c')=a'+(b+c)'=(a+(b+c))',$
• $(a(bc))'=a'(bc)+a(bc)'=a'bc+a(b'c+bc')=a'bc+ab'c+abc'=$

$=(a'b+ab')c+(ab)c'=(ab)'c+(ab)c'=((ab)c)',$

• $((a+b)c)'=(a+b)'c+(a+b)c'=(a'+b')c+(a+b)c'=(a'c+b'c)+(ac'+bc')=$

$=\cdots =(a'c+(b'c+ac'))+bc'=(a'c+(ac'+b'c))+bc'=\cdots =(a'c+ac')+(b'c+bc')=$

$=(ac)'+(bc)'=(ac+bc)'$

a distributivita z druhé strany symetricky.

Linearita je při tomto přístupu samozřejmostí.

Vztah pro derivaci polynomu (ve standardním tvaru pro komutativní okruhy) je přímým důsledkem: $(\sum _{i}a_{i}x^{i})'=\sum _{i}(a_{i}x^{i})'=\sum _{i}((a_{i})'x^{i}+a_{i}(x^{i})')=\sum _{i}(0x^{i}+a_{i}(\sum _{j=1}^{i}x^{j-1}(x')x^{i-j}))=\sum _{i}\sum _{j=1}^{i}a_{i}x^{i-1}.$

Aplikace pro separaci podpolynomů různých násobností

Je-li polynom $p(x)$ možno napsat ve tvaru $p(x)=\prod _{i=1}^{k}(p_{i}(x))^{i}$, kde polynomy $p_{i}$ jsou nesoudělné. Pak je možno polynomy $p_{i}$ postupně od posledního najít vícenásobným použitím největšího společného dělitele polynomu s jeho formální derivací (není potřeba aby polynomy byly nad reálnými či komplexními čísly).