Floydův-Warshallův algoritmus

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Floydův–Warshallův algoritmus (známý také jako Royův–Floydův algoritmus) je počítačový algoritmus používaný pro nalezení nejkratších cest v orientovaném grafu s hranami různých obecných (kladných) vah. Jediný průchod algoritmu spočte nejkratší cestu mezi všemi dvojicemi vrcholů. Floydův–Warshallův algoritmus je typickým příkladem dynamického programování. Algoritmus poprvé popsali Robert Floyd a Stephen Warshall.

Algoritmus[editovat | editovat zdroj]

Floydův–Warshallův algoritmus porovnává všechny možné cesty v grafu mezi všemi dvojicemi vrcholů. Pracuje tak, že postupně vylepšuje odhad na nejkratší cestu do té doby, než je zřejmé, že odhad je optimální projde všechny možnosti.

Mějme graf G s vrcholy V očíslovanými 1 až N. Dále mějme funkci nejkratsiCesta(i,j,k) , která vrací nejkratší možnou cestu z i do j s použitím pouze vrcholů 1 až k jako mezivrcholů. Pomocí této funkce chceme najít nejkratší cestu mezi všemi dvojicemi i a j s použitím mezivrcholů 1 až k+1.

Na nejkratší cestu máme dva kandidáty: buď je nejkratší cesta v množině vrcholů (1...k), nebo existuje cesta jdoucí z i do k+1, a poté z k+1 do j, která je lepší (kratší) než ta stávající. Nejlepší cesta z i do j používající pouze vrcholy 1 až k je definována funkcí nejkratsiCesta(i, j, k). Délka nejlepší cesty z i do k+1 a poté do j je pak zřejmě součet délek nejkratší cesty z i do k+1 a nejkratší cesty z k+1 do j.

Funkci nejkratsiCesta(i, j, k) pak můžeme rekurzivně definovat takto:

nejkratsiCesta(i, j, k) = min(nejkratsiCesta(i, j, k - 1), nejkratsiCesta(i, k, k  -1) + nejkratsiCesta(k, j, k - 1));
nejkratsiCesta(i, j, 0) = cenaHrany(i, j);

Algoritmus nejprve spočte nejkratsiCesta(i, j, 0) pro všechny dvojice i a j, poté pro všechny dvojice spočte nejkratsiCesta(i, j, 1) atp. dokud nedosáhne k = N, kdy jsme našli nejkratší cesty pro všechny dvojice vrcholů i a j v grafu G. Asymptotická časová složitost algoritmu je O(N^3).

Při počítání k-té úrovně můžeme přepsat informace vytvořené (k - 1)-ní úrovní, což je optimalizace. Algoritmus v obou případech používá kvadratické množství paměti vůči počtu vrcholů grafu. Asymptotická paměťová složitost je tedy O(N^2).

Pseudokód[editovat | editovat zdroj]

 1 // Předpokládáme funkci cenaHrany(i, j) vracející cenu hrany z i do j
 2 // (pokud hrana neexistuje, cenaHrany = nekonečno)
 3 // Dále, N je počet vrcholů a cenaHrany(i, i) = 0 
 4 
 5 int cesta[][]; // Dvourozměrné pole. V každém kroku algoritmu je cesta[i][j] 
 6                // nejkratší cesta z i do j použitím 1. až k-té hrany.
 7                // Všechny hrany cesta[i][j] jsou inicializovány funkcí 
 8                // cenaHrany(i,j);            
 9
10 procedure FloydWarshall ()
11    for \mathit{k} := 1 to \mathit{N}
12    begin
13       foreach \mathit{(i,j)} in (1..N)
14       begin
15          cesta[i][j] = min(cesta[i][j], cesta[i][k] + cesta[k][j]);
16       end
17    end
18 endproc

Implementace[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Floyd-Warshall algorithm na anglické Wikipedii.