Extenzionální relace

Extenzionální relace je matematický pojem z oblasti teorie množin.

Definice

Nechť R je binární relace na třídě A. Dále označme $R^{-1}[y]=\{x;\,xRy\}$. Relace R se nazve extenzionální, splňuje-li: $(\forall y,z\in A)(R^{-1}[y]=R^{-1}[z]\Rightarrow y=z)$.

Příklady

• Relace $\in$ na univerzální třídě $\mathbb {V}$ je extenzionální díky axiomu extenzionality.
• Relace $\,<$ i $\leq$ na množině přirozených, celých, racionálních, reálných či ordinálních čísel jsou všechny extenzionální. Obecněji každé lineární uspořádání je extenzionální relace.
• Relace „x dělí y“ je extenzionální na množině přirozených čísel, přestože zde není lineárním uspořádáním. Na množině celých čísel tatáž relace extenzionální není - každá dvě čísla $\,m,-m$ mají stejné dělitele, ale nejsou si rovna.

Mostowského věta o kolapsu

Mostowského věta o kolapsu říká, že extenzionalita je jednou ze (tří) základních vlastností relace $\in$, které tuto relaci do jisté míry jednoznačně charakterizují. Zní takto:

Nechť R je relace úzká, extenzionální a fundovaná na třídě A. Pak existuje právě jedna tranzitivní třída T taková, že struktury $\,\langle A;R\rangle$ a $\langle T;\in \rangle$ jsou izomorfní (tj. existuje $\phi :A\rightarrow T$ bijekce, že $\,xRy\Leftrightarrow \phi (x)\in \phi (y)$).

Související články

• Úzká relace
• Fundovaná relace

Portály: Matematika