Eulerova-Lagrangeova rovnice

Eulerova-Lagrangeova rovnice se také často nazývá Eulerova rovnice nebo Lagrangeova rovnice, protože na této rovnici pracovali Leonhard Euler a Joseph Louis Lagrange současně okolo roku 1755. V oboru variačního počtu se jedná o diferenciální rovnici umožňující nalezení extrému funkcionálu a obvykle bývá užívána při optimalizaci a v mechanice pro odvozování pohybových rovnic různých objektů.

Popis problému optimalizace

Je zadána tzv. Lagrangeova funkce (lagrangián) F tří proměnných, která má spojité první parciální derivace, do níž je dosazena funkce y(x),

$F \left( x, y(x), y'(x) \right)$.

Aby funkce y(x) představovala extrémálu následujícího funkcionálu J,

$J = \int_a^b F(x, y(x), y'(x)) \, \mathrm{d}x$,

musí funkce y(x) být řešením následující obyčejné diferenciální rovnice zvané Eulerova-Lagrangeova rovnice.

$\frac{\partial F}{\partial y} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\partial F}{\partial y'} = 0$

Příklad: „Nejlevnější cesta“

Úkolem je najít extrém následujícího funkcionálu J při splnění uvedených vazebních (okrajových) podmínek.

$J = \int_0^1 \left[ y'(x)^2 + 12 x y(x) \right] \, \mathrm{d}x$

$y(0) = 0$

$y(1) = 1$

V podstatě hledáme takovou trajektorii (množinu bodů $[x;y(x)]$) z bodu [0;0] do bodu [1;1], aby daný určitý integrál, který závisí na této křivce, byl minimální. Lze si také představit, že funkce $F(x,y,y') = y'^2+12xy$ představuje „penalizaci“ v závislosti na poloze a směru, přičemž úkolem je dostat se do cíle „co nejlevněji“.

Dosazením funkce F do Eulerovy-Lagrangeovy rovnice odvodíme následující obyčejnou diferenciální rovnici (lineární nehomogenní 2. řádu).

$12x - 2y'' = 0$

Získanou rovnici můžeme snadno vyřešit dvojnásobnou integrací:

$y'' = 6x$,

$y' = 3x^2 + c_1$,

$y = x^3 + c_1 x + c_2$.

Hodnotu integračních konstant c₁ a c₂ vypočteme z okrajových podmínek $y(0) = 0$ a $y(1) = 1$ a získáme tak hledanou funkci $y(x)$.

$c_1 = 0$

$c_2 = 0$

$y(x) = x^3$

Související články

• Lagrangeovská formulace mechaniky

Externí odkazy

• Významní matematikové v historii (3), Euler + Lagrange: http://natura.eri.cz/natura/2002/4/20020405.html
• Variační počet: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~prazak/vyuka/MAF042/kap19.pdf
• Prezident, prázdný talíř, Lagrangeovy rovnice a tak vůbec: http://www-ucjf.troja.mff.cuni.cz/~dolejsi/talir.pdf
• Vačkový mechanismus: http://www.spszr.cz/~blazicek/Projekt/vack_mech/vacky.htm
• Úloha 10 - Kyvadlo: http://e-learning.tul.cz/…