Eukleidovský prostor

Eukleidovský prostor je matematický výraz pro člověku nejbližší, intuitivní představu prostoru. V tomto pojetí prostoru, formalizovaném Eukleidovými axiomy, začíná školní vzdělávací proces; týká se především geometrie, ale také fyziky a algebry. Pojmu se užívá zejména v kontrastu k jiným prostorům.

Dimenze prostoru

Původní představa eukleidovského prostoru je dvojrozměrná (rovina, ve které rýsujeme své geometrické obrazce) či trojrozměrná. Postupným zobecněním si ale dokážeme představit i prostory vyšších dimenzí, ve kterých platí stejné Eukleidovy axiomy.

Metrika prostoru

Eukleidovský prostor je metrickým prostorem, tj. lze v něm zavést veličinu, kterou nazýváme metrika čili vzdálenost (každé dva body v prostoru mají mezi sebou určitou vzdálenost). Například kružnici pak definujeme jako množinu bodů, ležících v rovině, které mají od jednoho bodu (středu) stejnou vzdálenost. V eukleidovském prostoru platí tzv. eukleidovská metrika, která umožňuje, že např. kružnice se pak zobrazuje tak, jak jsme zvyklí (při jiné metrice by mohla mít kružnice např. tvar čtverce aj.).

Základní vlastnosti

Z Eukleidových axiomů vyplývají některé základní vlastnosti, které považujeme za samozřejmé:

• rovnoběžky se v žádném bodě neprotínají (respektive někdy říkáme, že „se protínají v nekonečnu“);
• součet úhlů v trojúhelníku je 180°.

Geometrie

Prostor, ve kterém jsme zvyklí od starověku podnes řešit geometrické úlohy, je eukleidovský prostor. Řešíme v něm úlohy planimetrie, stereometrie, analytické geometrie, perspektivy a další.

Fyzika

Prostor, ve kterém pracuje klasická fyzika, je eukleidovský.

Architektura

Projektování staveb probíhá v eukleidovském prostoru.

Lineární algebra

V lineární algebře se obvykle definuje jako konečněrozměrný unitární prostor nad množinou reálných čísel.

Vlastnosti

Eukleidovský prostor dimenze n se obvykle značí $E_{n}$.

Eukleidovský prostor je unitární prostor, a proto je na něm definován skalární součin.

Zavedeme-li v n-rozměrném eukleidovském prostoru kartézskou soustavu souřadnic, pak vzdálenost d mezi dvěma body X a Y o souřadnicích $(x_{1},x_{2},...,x_{n}),(y_{1},y_{2},...,y_{n})$ je určena vztahem

$d={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{(x_{i}-y_{i})}^{2}}}$

Eukleidovský prostor $E_{n}$ bývá také označován jako kartézský prostor $\mathbb {R} ^{n}$, kde $\mathbb {R}$ označuje množinu reálných čísel. Kartézský prostor je tedy kartézským součinem n množin $\mathbb {R}$.

Rozšířením eukleidovského prostoru $E_{n}$ lze získat n-rozměrný komplexní prostor $K_{n}$. Prostor $K_{n}$ bývá označován také jako $\mathbb {C} ^{n}$, kde $\mathbb {C}$ je množina komplexních čísel.

Neeukleidovský prostor

Prostory, ve kterých naopak není splněno všech pět eukleidovských axiomů, se zabývá neeukleidovská geometrie.

Odkazy

Související články

• Unitární prostor
• Metrický prostor

Externí odkazy

• Eukleidovský prostor v encyklopedii MathWorld (anglicky)

Portály: Matematika