Elementární algebra

Tento článek potřebuje úpravy.

Můžete Wikipedii pomoci tím, že ho vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl, Encyklopedický styl a Odkazy.

Elementární algebra je nejzákladnější forma algebraické teorie a navazuje na aritmetiku. Hlavní rozdíl mezi aritmetikou a algebrou je v používání proměnných. Zatímco v aritmetice jsou použita pouze čísla a jejich základní aritmetické operace, v algebře je možné použít např. symboly jako x či y k označení proměnných.

Vlastnosti algebry

Proměnné

Smysl používání proměnných (tj. symbolů, které označují čísla) je především ve větší obecnosti, což umožňuje:

• zapsat rovnice a nerovnice ve formě určitého předpisu či věty, např. „$a + b = b + a$ pro všechny a a b“, což je první krok k systematickému zkoumání vlastností množiny reálných čísel
• odkazovat na čísla, jež jsou neznámá. V kontextu daného problému mohou proměnné reprezentovat určitou hodnotu, která není ještě známa, ale jež může být odvozena z řešení dané rovnice.
• obecně vyjádřit vztahy mezi hodnotami (např. „jestliže prodáš x lístků, potom vyděláš 3x − 10 korun"

Operace v elementární algebře

operace	písemné vyjádření	komutativita	asociativita	neutrální prvek	inverzní operace
sčítání	a + b	a + b = b + a	(a + b) + c = a + (b + c)	0, 0 + a = a + 0 = a	odčítání ( - )
násobení	a × b nebo a • b	a × b = b × a	(a × b) × c = a × (b × c)	1, 1 × a = a × 1 = a	dělení ( / )
mocnění	ab	nekomutitativní	neasociativní	1, a1 = a	Logaritmus (Log)

Operace sčítání

• má inverzní operaci odčítání: (a + b) − b = a, což je stejné jako přidání záporného čísla, a − b = a + (−b);

Operace násobení

• znamená opětovné sčítání, takové že: a × n = a + a +...+ a (n krát);
• inverzní operací k násobení je dělení, jež je matematicky korektní pro všechna nenulová čísla : (ab)/b = a, a je ekvivalentní operaci násobení recipročním číslem, a/b = a(1/b);
• distributivita se sčítáním: (a + b)c = ac + bc;
• a také: a × b ≡ ab;

Operace mocnění

• znamená opakované násobení takové, že: aⁿ = a × a ×...× a (n krát);
• má inverzní operaci nazvanou logaritmus: a^log_ab = b = log_aa^b;
• distributivita u násobení: (ab)^c = a^cb^c;
• může být psáno jako n-tá odmocnina : $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$
• má vlastnost: a^ba^c = a^{b + c};
• má vlastnost: (a^b)^c = a^bc.
• obecně $a^b\ne b^a$ a $\left(a^b\right)^c\ne a ^{\left(b^c\right)}$

pořadí algebraických operací

V matematice je důležité pořadí operací v daném výrazu, tj. jaká operace je upřednostněna před jinou, tak aby se daný výraz mohl počítat vždy stejně. To jest se správným pořadím operací. Pořadí je následující:

1. závorky
2. umocňování a odmocňování
3. násobení a dělení
4. sčítání a odečítání

Rovnice

Rovnicí se rozumí tvrzení, že dva matematické výrazy si jsou rovny. Nějaké rovnice jsou pravdivé pro všechny proměnné, jež obsahují (např. a + b = b + a); Takovéto rovnice se nazývají identitou identity^[zdroj?]. Rovnice s určitým předpokladem (podmíněné) platí pouze pro určité hodnoty proměnných: x² − 1 = 4. Hodnoty proměnných, které vyhovují dané rovnici, jsou řešením rovnice

Vlastnosti rovnosti

Relace rovnosti (=) je:

• reflexivní: a = a;
• symetrická: pokud a = b potom b = a;
• transitivní: pokud a = b a b = c, potom a = c.

Relace rovnosti má dále vlastnosti:

• jestliže a = b a c = d, potom a + c = b + d a ac = bd;
• jestliže a = b, potom a + c = b + c;
• jestliže jsou si dvě substituce rovny, potom jedna může být substitucí druhé.

Svým způsobem je rovnost též slabě antisymetrická, ovšem antisymetrie je definována pomocí rovnosti, takže je toto tvrzení je tautologií.

Vlastnosti nerovnosti

Relace nerovnosti (≤) má vlastnost...

• reflexivita: a ≤ a
• antisymetrie: jestliže a ≤ b a b ≤ a, potom a = b
• transitivita: jestliže a ≤ b a b ≤ c, potom a ≤ c;
• jestliže a ≤ b a c ≤ d, potom a + c ≤ b + d;
• jestliže a ≤ b a c ≥ 0, potom ac ≤ bc;
• jestliže a ≤ b a c ≤ 0, pak bc ≤ ac.

Příklady z elementární algebry

Typický algebraický problém

Následující sekce obsahuje některé příklady algebraických rovnic.

Lineární rovnice o jedné proměnné

Tyto rovnice jsou velice snadno řešitelné, např:

$2x + 4 = 12. \,$

Základní postup při řešení těchto rovnic je násobení, dělení, přičítání či odčítaní stejných čísel k oběma stranám rovnice tak, aby na jedné straně nakonec zůstala pouze proměnná.

$2x + 4 - 4 = 12 - 4 \,$

lze upravit na:

$2x = 8. \,$

Dělení obou stran 2:

$\frac{2x}{2} = \frac{8}{2} \,$

zjednodušuje rovnici na:

$x = 4. \,$

obecně,

$ax+b=c\,$

se dá upravit jako:

$x=\frac{c-b}{a}$

Kvadratické rovnice

Kvadratické rovnice může být obecně vyjádřená jako ax² + bx + c = 0, kde a je nenulové (jinak rovnice přechází v lineární). Tedy a ≠ 0, a můžeme dělit a a tím upravit rovnici do standardního tvaru:

$x^2 + px = q\,$

kde p = b/a a q = −c/a. Řešení takovéto rovnice vede ke vzorci (k řešení):

$x=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a},$

Tato rovnice také může být řešena takzvanou rozkladem Například: :$x^{2} + 3x - 10 = 0. \,$ Což je stejná rovnice jako

$(x + 5)(x - 2) = 0. \,$

Všechny kvadratické rovnice mají dva kořeny v množině komplexních čísel, ale nemusí mít žádný kořen v reálných číslech. Například

$x^{2} + 1 = 0 \,$

nemá žádné řešení v reálných číslech. Někdy je řešením takzvaný multiplikátor (matematika), například:

$(x + 1)^{2} = 0. \,$

Tato rovnice má kořen -1 s násobností 2.

Exponenciální a logaritmické rovnice

Exponenciální rovnice je rovnice a^X = b pro a ≥ 0, jež má řešení

$X = \log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$

kde b ≥ 0. Elementární úpravou je vhodné rovnici upravit tvaru výše.

$3 \cdot 2^{x - 1} + 1 = 10$

a odečtením 1 z obou stran rovnice a poté dělením obou stran 3:

$2^{x - 1} = 3\,$

takže

$x - 1 = \log_2 3\,$

nebo

$x = \log_2 3 + 1.\,$

logaritimická rovnice je rovnice ve tvaru log_aX = b for a ≥ 0, jež má za řešení:

$X = a^b.\,$

například:

$4\log_5(x - 3) - 2 = 6\,$

přičtením 2 k oběma stranám a vydělením 4

$\log_5(x - 3) = 2\,$

takže

$x - 3 = 5^2 = 25\,$

nakonec

$x = 28.\,$

Soustava lineárních rovnic

v případě soustava lineárních rovnic, např. dvou rovnic o dvou proměnných, je možné najít řešení, jež vyhovují oběma rovnicím, pomocí následujících metod.

Eliminační metoda

Příklad eliminační metody:

$\begin{cases}4x + 2y = 14 \\ 2x - y = 1.\end{cases} \,$

vynásobením druhé rovnice 2 dostáváme:

$4x + 2y = 14 \,$

$4x - 2y = 2. \,$

sečtením těchto dvou rovnic dohromady dostáváme rovnici:

$8x = 16 \,$

tedy

$x = 2. \,$

Jestliže víme, že x = 2, je potom možné odvodit i y = 3 pomocí jedné z rovnic (nahrazením 2 místo x). Celé řešení této rovnice je potom rovno:

$\begin{cases} x = 2 \\ y = 3. \end{cases}\,$

(Samozřejmě je možné nejdříve vypočítat y a potom z něho odvodit x).

Substituční metoda

Druhý způsob je tzv. substituční metoda.

$\begin{cases}4x + 2y = 14 \\ 2x - y = 1.\end{cases} \,$

Ekvivalent pro y můžeme odvodit z jedné z rovnic. Například použitím druhé rovnice dostáváme:

$2x - y = 1 \,$

Odečtení 2x z obou stran rovnice dává :

$2x - 2x - y = 1 - 2x \,$

$- y = 1 - 2x \,$

a vynásobením -1:

$y = 2x - 1. \,$

Nyní dosadíme y (vyjádřený výše pomocí x) v první rovnici

$4x + 2(2x - 1) = 14 \,$

$4x + 4x - 2 = 14 \,$

$8x - 2 = 14 \,$

přidáním 2 k oběma stranám:

$8x - 2 + 2 = 14 + 2 \,$

$8x = 16 \,$

nakonec

$x = 2 \,$

Opět dosazením 2 za x do jedné z rovnic se vypočítá i druhá proměnná y

$\begin{cases} x = 2 \\ y = 3. \end{cases}\,$

(Opět lze touto metodou nejdříve vypočítat y a poté x)

Jiné typy soustav lineárních rovnic

Neřešitelné soustavy

Ve výše uvedených příkladech bylo možné najít řešení, existují ovšem i soustavy jež nemají řešení. Například

$\begin{cases} x + y = 1 \\ 0x + 0y = 2 \end{cases}\,$

Druhá rovnice nemá žádné možné řešení. Tj. soustava nemá řešení. Všechny soustavy, pro něž neexistuje řešení ovšem nemusí být na první pohled tak snadno rozpoznatelné, například

$\begin{cases}4x + 2y = 12 \\ -2x - y = -4 \end{cases}\,$

Jestliže se pokusíme tyto soustavu dvou rovnic vyřešit (například pomocí metody substituce), druhá rovnice, po přičtení 2x k oběma stranám a vynásobením −1 dává:

$y = -2x + 4 \,$

a po dosazení této hodnoty za y do první rovnice:

$4x + 2(-2x + 4) = 12 \,$

$4x - 4x + 8 = 12 \,$

$8 = 12 \,$

Zřejmě rovnice nemá řešení.

Reference

• Přehled užité matematiky, Karel Rektorys a spolupracovníci
• Leonhard Euler, Elements of Algebra, 1770. English translation Tarquin Press, 2007, ISBN 978-1-899618-79-8, also online digitized editions [1] 2006, [2] 1822.
• Charles Smith, A Treatise on Algebra, in Cornell University Library Historical Math Monographs.

Související články

• binární operace
• Gaussova eliminace
• polynom