Elementární algebra

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Elementární algebra je nejzákladnější forma algebraické teorie a navazuje na aritmetiku. Hlavní rozdíl mezi aritmetikou a algebrou je v používání proměnných. Zatímco v aritmetice jsou použita pouze čísla a jejich základní aritmetické operace, v algebře je možné použít např. symboly jako x či y k označení proměnných.

Vlastnosti algebry[editovat | editovat zdroj]

Proměnné[editovat | editovat zdroj]

Smysl používání proměnných (tj. symbolů, které označují čísla) je především ve větší obecnosti, což umožňuje:

  • zapsat rovnice a nerovnice ve formě určitého předpisu či věty, např. „a + b = b + a pro všechny a a b“, což je první krok k systematickému zkoumání vlastností množiny reálných čísel
  • odkazovat na čísla, jež jsou neznámá. V kontextu daného problému mohou proměnné reprezentovat určitou hodnotu, která není ještě známa, ale jež může být odvozena z řešení dané rovnice.
  • obecně vyjádřit vztahy mezi hodnotami (např. „jestliže prodáš x lístků, potom vyděláš 3x − 10 korun"

Operace v elementární algebře[editovat | editovat zdroj]

operace písemné vyjádření komutativita asociativita neutrální prvek inverzní operace
sčítání a + b a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c) 0, 0 + a = a + 0 = a odčítání ( - )
násobení a × b nebo ab a × b = b × a (a × b) × c = a × (b × c) 1, 1 × a = a × 1 = a dělení ( / )
mocnění ab nekomutitativní neasociativní 1, a1 = a[pozn 1] Logaritmus (Log)

Operace sčítání[editovat | editovat zdroj]

  • inverzní operaci odčítání: (a + b) − b = a, což je stejné jako přidání záporného čísla, ab = a + (−b);

Operace násobení[editovat | editovat zdroj]

  • znamená opětovné sčítání, takové že: a × n = a + a +...+ a (n krát);
  • inverzní operací k násobení je dělení, jež je matematicky korektní pro všechna nenulová čísla : (ab)/b = a, a je ekvivalentní operaci násobení recipročním číslem, a/b = a(1/b);
  • distributivita se sčítáním: (a + b)c = ac + bc;
  • a také: a × bab;

Operace mocnění[editovat | editovat zdroj]

  • znamená opakované násobení takové, že: an = a × a ×...× a (n krát);
  • má inverzní operaci nazvanou logaritmus: alogab = b = logaab;
  • distributivita u násobení: (ab)c = acbc;
  • může být psáno jako n-tá odmocnina : a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}
  • má vlastnost: abac = ab + c;
  • má vlastnost: (ab)c = abc.
  • obecně a^b\ne b^a a \left(a^b\right)^c\ne a ^{\left(b^c\right)}

pořadí algebraických operací[editovat | editovat zdroj]

V matematice je důležité pořadí operací v daném výrazu, tj. jaká operace je upřednostněna před jinou, tak aby se daný výraz mohl počítat vždy stejně. To jest se správným pořadím operací. Pořadí je následující:

  1. závorky
  2. umocňování a odmocňování
  3. násobení a dělení
  4. sčítání a odečítání

Rovnice[editovat | editovat zdroj]

Rovnicí se rozumí tvrzení, že dva matematické výrazy si jsou rovny. Nějaké rovnice jsou pravdivé pro všechny proměnné, jež obsahují (např. a + b = b + a); Takovéto rovnice se nazývají identitou identity[zdroj?]. Rovnice s určitým předpokladem (podmíněné) platí pouze pro určité hodnoty proměnných: x² − 1 = 4. Hodnoty proměnných, které vyhovují dané rovnici, jsou řešením rovnice

Vlastnosti rovnosti[editovat | editovat zdroj]

Relace rovnosti (=) je:

Relace rovnosti má dále vlastnosti:

  • jestliže a = b a c = d, potom a + c = b + d a ac = bd;
  • jestliže a = b, potom a + c = b + c;
  • jestliže jsou si dvě substituce rovny, potom jedna může být substitucí druhé.

Svým způsobem je rovnost též slabě antisymetrická, ovšem antisymetrie je definována pomocí rovnosti, takže je toto tvrzení je tautologií.

Vlastnosti nerovnosti[editovat | editovat zdroj]

Relace nerovnosti (≤) má vlastnost...

  • reflexivita: aa
  • antisymetrie: jestliže ab a ba, potom a = b
  • transitivita: jestliže ab a bc, potom ac;
  • jestliže ab a cd, potom a + cb + d;
  • jestliže ab a c ≥ 0, potom acbc;
  • jestliže ab a c ≤ 0, pak bcac.

Příklady z elementární algebry[editovat | editovat zdroj]

Typický algebraický problém

Následující sekce obsahuje některé příklady algebraických rovnic.

Lineární rovnice o jedné proměnné[editovat | editovat zdroj]

Tyto rovnice jsou velice snadno řešitelné, např:

2x + 4 = 12. \,

Základní postup při řešení těchto rovnic je násobení, dělení, přičítání či odčítaní stejných čísel k oběma stranám rovnice tak, aby na jedné straně nakonec zůstala pouze proměnná.

2x + 4 - 4 = 12 - 4 \,

lze upravit na:

2x = 8. \,

Dělení obou stran 2:

\frac{2x}{2} = \frac{8}{2} \,

zjednodušuje rovnici na:

x = 4. \,

obecně,

ax+b=c\,

se dá upravit jako:

x=\frac{c-b}{a}

Kvadratické rovnice[editovat | editovat zdroj]

Kvadratické rovnice může být obecně vyjádřená jako ax² + bx + c = 0, kde a je nenulové (jinak rovnice přechází v lineární). Tedy a ≠ 0, a můžeme dělit a a tím upravit rovnici do standardního tvaru:

x^2 + px = q\,

kde p = b/a a q = −c/a. Řešení takovéto rovnice vede ke vzorci (k řešení):

x=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a},

Tato rovnice také může být řešena takzvanou rozkladem Například: :x^{2} + 3x - 10 = 0. \, Což je stejná rovnice jako

(x + 5)(x - 2) = 0. \,

Všechny kvadratické rovnice mají dva kořeny v množině komplexních čísel, ale nemusí mít žádný kořen v reálných číslech. Například

x^{2} + 1 = 0 \,

nemá žádné řešení v reálných číslech. Někdy je řešením takzvaný multiplikátor (matematika), například:

(x + 1)^{2} = 0. \,

Tato rovnice má kořen -1 s násobností 2.

Exponenciální a logaritmické rovnice[editovat | editovat zdroj]

Exponenciální rovnice je rovnice aX = b pro a ≥ 0, jež má řešení

X = \log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}

kde b ≥ 0. Elementární úpravou je vhodné rovnici upravit tvaru výše.

3 \cdot 2^{x - 1} + 1 = 10

a odečtením 1 z obou stran rovnice a poté dělením obou stran 3:

2^{x - 1} = 3\,

takže

x - 1 = \log_2 3\,

nebo

x = \log_2 3 + 1.\,

logaritimická rovnice je rovnice ve tvaru logaX = b for a ≥ 0, jež má za řešení:

X = a^b.\,

například:

4\log_5(x - 3) - 2 = 6\,

přičtením 2 k oběma stranám a vydělením 4

\log_5(x - 3) = 2\,

takže

x - 3 = 5^2 = 25\,

nakonec

x = 28.\,

Soustava lineárních rovnic[editovat | editovat zdroj]

v případě soustava lineárních rovnic, např. dvou rovnic o dvou proměnných, je možné najít řešení, jež vyhovují oběma rovnicím, pomocí následujících metod.

Eliminační metoda[editovat | editovat zdroj]

Příklad eliminační metody:

\begin{cases}4x + 2y = 14 \\ 2x - y = 1.\end{cases} \,

vynásobením druhé rovnice 2 dostáváme:

4x + 2y = 14 \,
4x - 2y = 2. \,

sečtením těchto dvou rovnic dohromady dostáváme rovnici:

8x = 16 \,

tedy

x = 2. \,

Jestliže víme, že x = 2, je potom možné odvodit i y = 3 pomocí jedné z rovnic (nahrazením 2 místo x). Celé řešení této rovnice je potom rovno:

\begin{cases} x = 2 \\ y = 3. \end{cases}\,

(Samozřejmě je možné nejdříve vypočítat y a potom z něho odvodit x).

Substituční metoda[editovat | editovat zdroj]

Druhý způsob je tzv. substituční metoda.

\begin{cases}4x + 2y = 14 \\ 2x - y = 1.\end{cases} \,

Ekvivalent pro y můžeme odvodit z jedné z rovnic. Například použitím druhé rovnice dostáváme:

2x - y = 1 \,

Odečtení 2x z obou stran rovnice dává :

2x - 2x - y = 1 - 2x \,
- y = 1 - 2x \,

a vynásobením -1:

 y = 2x - 1. \,

Nyní dosadíme y (vyjádřený výše pomocí x) v první rovnici

4x + 2(2x - 1) = 14 \,
4x + 4x - 2 = 14 \,
8x - 2 = 14 \,

přidáním 2 k oběma stranám:

8x - 2 + 2 = 14 + 2 \,
8x = 16 \,

nakonec

x = 2 \,

Opět dosazením 2 za x do jedné z rovnic se vypočítá i druhá proměnná y

\begin{cases} x = 2 \\ y = 3. \end{cases}\,

(Opět lze touto metodou nejdříve vypočítat y a poté x)

Jiné typy soustav lineárních rovnic[editovat | editovat zdroj]

Neřešitelné soustavy[editovat | editovat zdroj]

Ve výše uvedených příkladech bylo možné najít řešení, existují ovšem i soustavy jež nemají řešení. Například

\begin{cases} x + y = 1 \\ 0x + 0y = 2 \end{cases}\,

Druhá rovnice nemá žádné možné řešení. Tj. soustava nemá řešení. Všechny soustavy, pro něž neexistuje řešení ovšem nemusí být na první pohled tak snadno rozpoznatelné, například

\begin{cases}4x + 2y = 12 \\ -2x - y = -4 \end{cases}\,

Jestliže se pokusíme tyto soustavu dvou rovnic vyřešit (například pomocí metody substituce), druhá rovnice, po přičtení 2x k oběma stranám a vynásobením −1 dává:

y = -2x + 4 \,

a po dosazení této hodnoty za y do první rovnice:

4x + 2(-2x + 4) = 12 \,
4x - 4x + 8 = 12 \,
8 = 12 \,

Zřejmě rovnice nemá řešení.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Poznámky[editovat | editovat zdroj]

  1. Jedná se pouze o pravý neutrální prvek, neboť platí 1n = 1.

Literatura[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]