Elektrický výkon

Wattmetr – přístroj pro měření elektrického výkonu

Elektrický výkon je fyzikální veličina, která vyjadřuje vykonanou elektrickou práci za jednotku času. Značí se písmenem P a jeho jednotkou je watt, značený písmenem W. Elektrický výkon je druhem výkonu, u kterého práci koná elektrická síla.

U obvodů střídavého proudu se rozlišují výkon činný, jalový a zdánlivý (a případně komplexní).

Odvození

Výkon je definován jako množství práce vykonané za jednotku času:

$P={\frac {W}{t}}$

V případě elektrického výkonu se jedná o elektrickou práci. Pokud se za čas dt přenese náboj dq mezi dvěma místy s napětím u, je vykonaná práce rovna dW = u dq a okamžitá hodnota výkonu je rovna

$p={\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} q}}\cdot {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}=u\cdot i$

Okamžitý výkon je tedy roven součinu okamžitého proudu a napětí.

Kladnou hodnotou výkonu je vyjadřována spotřeba energie ve spotřebiči, záporná hodnota vyjadřuje dodávání energie ze zdroje.

Výkon u stejnosměrného proudu

V obvodech stejnosměrného proudu jsou napětí i proud konstantní a lze tedy psát:

$P=p(t)=UI$

Při využití Ohmova zákona lze odvodit další ekvivalentní vyjádření (užitečná při znalosti odporu):

$P={\frac {U^{2}}{R}}=I^{2}R$

Výkon u střídavého proudu

V obvodech střídavého proudu jsou obě veličiny (a tedy i okamžitý výkon) závislé na čase. Jejich průběhy jsou však zpravidla periodické, nejčastěji pak se sinusovým průběhem. Pokud tedy napětí a proud mají sinusový průběh o amplitudách $U_{\mathrm {m} }$, resp. $I_{\mathrm {m} }$, úhlové frekvenci $\omega$ a fázovém posuvu mezi proudem a napětím $\varphi$, platí:

$p(t)=u(t)i(t)=U_{\mathrm {m} }\sin(\omega t+\varphi )\,I_{\mathrm {m} }\sin(\omega t)=UI\left(\left(1-\cos 2\omega t\right)\cos \varphi +\sin 2\omega t\,\sin \varphi \right)$,

kde $U$ a $I$ jsou efektivní hodnoty napětí a proudu (${\sqrt {2}}U=U_{\mathrm {m} }$, ${\sqrt {2}}I=I_{\mathrm {m} }$).

Okamžité napětí, proud a výkon v obvodu střídavého proudu

Z tohoto vztahu je zřejmé, že okamžitý výkon u sinusového průběhu má také periodický, sinusový průběh, ovšem s dvojnásobnou frekvencí (viz obrázek). V některých okamžicích je navíc výkon záporný – z toho je vidět, že část výkonu se obvodem přelévá tam i zpět.

U periodického průběhu lze definovat střední hodnotu výkonu za periodu:

$P={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}p(t)\,\mathrm {d} t={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}u(t)i(t)\,\mathrm {d} t$

Tato střední hodnota popisuje výkon, který se přenáší od zdroje ke spotřebiči, kde se nenávratně proměňuje v jiný druh energie. Proto se označuje jako činný výkon. V případě sinusového průběhu lze tuto střední hodnotu vypočítat jako

$P={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}u(t)i(t)\,\mathrm {d} t=UI\cos \varphi$

Je vidět, že oproti výkonu u stejnosměrného proudu přibyl člen $\cos \varphi$, který vyjadřuje závislost činného výkonu na fázovém posuvu proudu oproti napětí a označuje se výrazem účiník. Při nulovém fázovém posuvu (zátěž je čistě odporová) je tento člen roven jedné a činný výkon je roven prostému součinu efektivního napětí a proudu, obdobně jako u stejnosměrného obvodu. Pokud je však posuv nenulový (v obvodu jsou zařazeny kapacitní či indukční prvky), je tento člen menší než jedna a činný výkon je o něco nižší. Při fázovém posuvu rovném ±π/2 (čistě kapacitní nebo čistě indukční zátěž) je pak účiník roven nule a činný výkon je nulový – celý výkon se vratně přenáší mezi zdrojem a spotřebičem tam a zpět, žádná energie se nespotřebovává.

Část výkonu, která se obvodem přelévá tam a zpět (a způsobuje v části periody zápornou hodnotu okamžitého výkonu), se označuje jako jalový výkon. Je způsobena tím, že elektrická energie v jedné části periody v kondenzátoru vytváří elektrické pole, resp. v cívce magnetické pole, v druhé části periody pak tato pole zanikají a stejnou energii vracejí do obvodu. Velikost jalového výkonu je rovna

$Q=UI\sin \varphi$

Rozměr této veličiny je stejný jako u činného výkonu, ale pro odlišení různého fyzikálního významu se používá jiná jednotka – voltampér reaktanční, značený „var“ (někdy se používají též varianty „VAr“, „VAR“ apod., ty jsou však chybné). Podle toho, zda má zátěž indukční nebo kapacitní charakter a zda je tedy fázový posuv kladný nebo záporný, může i jalový výkon nabývat obou znamének: pokud se proud zpožďuje za napětím (indukční zátěž), je jalový výkon kladný, v opačném případě je záporný.

Z praktických důvodů se pak ještě definuje tzv. zdánlivý výkon vztahem

$S=UI$

Jako jednotka se zde užívá voltampér značený „VA“. Jednotlivé druhy výkonu spojuje vztah

$S={\sqrt {P^{2}+Q^{2}}}$

Zdánlivý výkon sice nemá přímý fyzikální význam, ale je důležitý zejména z toho důvodu, že mnoho elektrotechnických prvků má vlastnosti závislé na napětí a na proudu, takže rozměry a možnosti těchto prvků se odvozují od zdánlivého výkonu. Přestože se jalový výkon ve spotřebiči neproměňuje, je potřeba ho po obvodu přenášet, což má za následek ztráty po cestě; snahou tedy je přenášený jalový výkon minimalizovat (vhodným návrhem, případně s využitím tzv. kompenzátorů účiníku). Zdánlivý výkon lze také chápat jako největší možný výkon, dosažitelný při nulovém fázovém posuvu (tzn. jednotkovém účiníku).

Fázorové vyjádření

Rozklad výkonu (červeně) na složku činnou (zeleně) a jalovou (modře)

Při analýze výkonu lze také uvažovat fázory: fázor proudu lze vektorově rozložit do činné složky (rovnoběžné s fázorem napětí) a jalové složky (kolmé na fázor napětí). Z nich lze mimo jiné dovodit okamžitou hodnotu činné i jalové složky:

$p_{\mathrm {c} }(t)=UI\cos \varphi \,(1-\cos 2\omega t)$

$p_{\mathrm {j} }(t)=UI\sin \varphi \,\sin 2\omega t$

Je vidět, že okamžitá hodnota činné složky nabývá vždy pouze nezáporných hodnot, jedná se tedy o tu část výkonu, která teče do spotřebiče a nevratně se v něm přeměňuje. Činný výkon tedy lze chápat jako výkon činné složky. Oproti tomu jalová složka má periodický průběh s nulovou střední hodnotou; neznamená tedy žádnou trvalou přeměnu energie a odpovídá periodické vratné výměně mezi zdrojem a spotřebičem, jde tedy o jalový výkon.

Trojúhelník výkonů – vztah mezi činným P[W], jalovým Q[var] a zdánlivým výkonem S[VA]

Vztah mezi jednotlivými druhy výkonů lze graficky ztvárnit pomocí tzv. trojúhelníka výkonů, na kterém je vidět činný i jalový výkon, jejichž vektorovým součtem vzniká výkon zdánlivý.

Při použití komplexní analýzy lze také formulovat výrazy pro jednotlivé veličiny na základě fázorů napětí a proudů. Komplexní obdobou zdánlivého výkonu je tzv. komplexní výkon, definovaný vztahem

$\mathbf {S} =\mathbf {U} \mathbf {I^{*}} =P+\mathrm {j} Q$

Následně lze vyjádřit

$P=\mathrm {Re} (\mathbf {S} )={\frac {1}{2}}\mathrm {Re} (\mathbf {U_{\mathrm {m} }} \mathbf {I_{\mathrm {m} }^{*}} )$

$Q=\mathrm {Im} (\mathbf {S} )={\frac {1}{2}}\mathrm {Im} (\mathbf {U_{\mathrm {m} }} \mathbf {I_{\mathrm {m} }^{*}} )$

$S=|\mathbf {S} |={\frac {1}{2}}|\mathbf {U_{\mathrm {m} }} \mathbf {I_{\mathrm {m} }^{*}} |$

Neharmonické průběhy

Pokud není průběh napětí a proudu čistě sinusový, získá se činný výkon součtem výkonů jednotlivých harmonických složek:

$P={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}p(t)\,\mathrm {d} t=U_{0}I_{0}+\sum _{k=1}^{\infty }U_{k}I_{k}\cos \varphi _{k}$

Jalový výkon (který zde však nemá příliš velký samostatný význam) se pak obvykle definuje jako

$Q=\sum _{k=1}^{\infty }U_{k}I_{k}\sin \varphi _{n}$

Pro zdánlivý výkon $S=UI$ pak už neplatí výše uvedený vztah, protože nyní $S^{2}\geq P^{2}+Q^{2}$, takže se zavádí tzv. deformační výkon, značený D a udávaný ve voltampérech, aby platilo:

$S=UI={\sqrt {P^{2}+Q^{2}+D^{2}}}$

Účiník je pak definován vztahem

$\lambda ={\frac {P}{UI}}=\cos \varphi _{\mathrm {ekv} }$,

kde už $\varphi _{\mathrm {ekv} }$ není reálně existující veličina, ale pouhá matematická konstrukce, která vyjadřuje fiktivní fázový posuv mezi tzv. ekvivalentním harmonickým napětím a proudem, které by měly stejné efektivní hodnoty a činný výkon jako analyzované neharmonické průběhy.

I pro neharmonický průběh lze užít komplexní analýzu: periodické napětí a proud se rozloží do komplexního tvaru Fourierovy řady a s využitím jejích koeficientů lze psát

$P=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\mathbf {U_{k}} \mathbf {I_{k}^{*}}$,

což je výsledek označovaný jako Parsevalův teorém.

Měření výkonu

Pro měření výkonu stejnosměrného proudu lze použít současně zapojený voltmetr a ampérmetr, přičemž je potřeba odečíst příkon voltmetru nebo ampérmetru (podle způsobu zapojení).

Obecně lze činný výkon měřit pomocí přístrojů označovaných jako wattmetry, které mohou fungovat buď elektromechanicky, nebo elektronicky. Jalový výkon lze měřit wattmetrem, u kterého je na napěťovou svorku připojené napětí fázově posunuto o π/2. Ve vícefázové soustavě je potřeba n − 1 wattmetrů, kde n je počet vodičů soustavy (tzv. Blondelův teorém).

Výkon a příkon

U elektrických spotřebičů se někdy pojem výkon používá v mírně jiném, zúženém významu, neboť se rozlišuje výkon a příkon: Do výkonu se zahrnuje pouze ta část práce, která slouží požadovanému účelu (přemění se na požadovaný druh energie, např. u svítidel světelný výkon), zbytek spotřebované energie (přeměněné na jiné formy energie, u svítidla např. na teplo) se zahrnuje pouze do příkonu. Toto rozlišení nemá z hlediska elektrického obvodu žádný vliv, celý příkon je z hlediska zbytku obvodu výkonem, rozdíl je však podstatný pro uživatele příslušného spotřebiče.

Odkazy

Literatura

• Vladimír Haasz, Miloš Sedláček: Elektrická měření – Přístroje a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha, 1998. ISBN 80-01-01717-6
• Milan Mikulec, Václav Havlíček: Základy teorie elektrických obvodů 1. Vydavatelství ČVUT, Praha, 1999. ISBN 80-01-01620-X

Související články

• Výkon
• Příkon
• Účiník
• Jouleovo teplo
• Watthodina

Portály: Fyzika

Autoritní data	NKC: ph545366 PSH: 3290 GND: 4151723-4 LCCN: sh85041875 NARA: 10638903 NDL: 00561409 NLI: 987007535930605171