Eisensteinovo číslo

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Trojúhelníková mříž Eisensteinových celých čísel v komplexní rovině

V matematice se jako Eisensteinova čísla, pojmenovaná po Ferdinandu Eisensteinovi, označují komplexní čísla tvaru

z = a + b\omega \,\!

kde a a b jsou celá čísla a

\omega = \frac{1}{2}(-1 + i\sqrt 3) = e^{2\pi i/3}

je (komplexní) třetí odmocnina z jedné. Podobně jako Gaussova čísla tvoří čtvercovou mříž, tvoří Eisensteinova čísla trojúhelníkovou mříž. Jedná se o okruh celistvých čísel číselného tělesa \mathbb{Q}\left(\mathrm i\sqrt{3}\right).

Dělitelnost[editovat | editovat zdroj]

Na Eisensteinových číslech lze zavést dělitelnost stejně jako na celých číslech: x dělí y právě tehdy, existuje-li Eisensteinovo číslo z splňující y=zx. To umožňuje převést z celých čísel i koncept prvočíselnosti, a mluvit o Eisensteinových prvočíslech. Mezi Eisensteinovými čísly je celkem šest jednotek {±1, ±ω, ±ω2}, za Eisensteinova prvočíslo je tedy považováno každé takové Eisensteinovo číslo z, které lze dělit pouze pouze jednotkami a prvky uz, kde u je nějaká z jednotek.

Eisensteinova čísla tvoří komutativní okruh. Ten je dokonce eukleidovský, za eukleidovskou funkci je možno zvolit

N(a + b\,\omega) = a^2 - a b + b^2.  \,\!

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Eisenstein integer na anglické Wikipedii.