Einsteinova konvence

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

V matematice, a zvláště v aplikacích lineární algebry ve fyzice, je užitečná Einsteinova notace nebo Einsteinova sumační konvence, zvláště tam, kde ve vzorcích vystupují souřadnice.

Podle této konvence, jestliže se indexová proměnná v jednom členu objevuje v horní i dolní pozici, znamená to součet přes všechny možné hodnoty indexu. V typických aplikacích se jedná o hodnoty 1, 2, 3 (pro výpočty v Euklidovském prostoru), nebo 0, 1, 2, 3 nebo 1, 2, 3, 4 (pro výpočty v Minkowského prostoru), ale může se jednat o jakýkoliv rozsah, dokonce v některých aplikacích se může jednat o nekonečnou množinu.

V obecné relativitě se řecká abeceda a latinka používají k rozlišení, zda se sčítá přes 1, 2, 3 nebo 0, 1, 2, 3 (obvykle se latinka i, j, … používá pro 1, 2, 3 a řecká abeceda μ, ν, … pro 0, 1, 2, 3). V praxi tomu ale může být i obráceně.

Někdy (jako v obecné relativitě) se požaduje, aby se index jednou vyskytoval jako horní index a jednou jako dolní, v jiných aplikacích se používají jen dolní indexy, např v tenzorovém počtu nebo v duálním vektorovém prostoru.

Úvod[editovat | editovat zdroj]

V mechanice a inženýrství se často vektor v 3D prostoru popisuje pomocí ortogonálních jednotkových vektorů i, j a k.

\mathbf{u} = u_x \mathbf{i} + u_y \mathbf{j} + u_z \mathbf{k}

Jestliže bázové vektory i, j, a k vyjádříme (přejmenujeme) jako e1, e2, a e3, lze vektor vyjádřit pomocí sumace:

\mathbf{u} = u_1 \mathbf{e}_1 + u_2 \mathbf{e}_2 + u_3 \mathbf{e}_3
   = \sum_{i = 1}^3 u_i \mathbf{e}_i

V Einsteinově notaci, pokud se nějaký index v rovnici opakuje dvakrát, implikuje to sumaci, a sumační symbol je možné vynechat.

Tato notace umožňuje zestručnit algebraickou reprezentaci vektorových a tenzorových rovnic. Například

\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \sum_{i = 1}^3 u_i \mathbf{e}_i \cdot
   \sum_{j = 1}^3 v_j \mathbf{e}_j = u_i \mathbf{e}_i \cdot v_j
   \mathbf{e}_j

nebo ekvivalentně:

\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} 
  =  \sum_{i = 1}^3 \sum_{j = 1}^3 u_i v_j ( \mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j ) 
  =  u_i v_j ( \mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j )

kde

 \mathbf{e}_i \cdot
   \mathbf{e}_j = \delta_{ij}

a \ \delta_{ij} je Kroneckerovo delta, které je rovno 1 když i = j, a 0 jindy. Logicky vyplývá, že jedno j v rovnici může být převedeno na i, nebo jedno i může být převedeno na j. Pak

\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_i v_j\delta_{ij}=  u_i v_i = u_j v_j

Pro vektorový součin,

 \mathbf{u} \times \mathbf{v}= \sum_{j = 1}^3 u_j \mathbf{e}_j \times
   \sum_{k = 1}^3 v_k \mathbf{e}_k = u_j \mathbf{e}_j \times v_k
   \mathbf{e}_k = u_j v_k (\mathbf{e}_j \times \mathbf{e}_k ) = \varepsilon_{ijk} \mathbf{e}_i u_j v_k

kde  \mathbf{e}_j \times \mathbf{e}_k = \varepsilon_{ijk} \mathbf{e}_i a \ \varepsilon_{ijk} Levi-Civitův symbol definovaný takto:

\varepsilon_{ijk} =
\left\{
\begin{matrix}
+1 & \mbox{pokud } (i,j,k) \mbox{ je } (1,2,3), (2,3,1) \mbox{ nebo } (3,1,2)\\
-1 & \mbox{pokud } (i,j,k) \mbox{ je } (3,2,1), (1,3,2) \mbox{ nebo } (2,1,3)\\
0  & \mbox{jinak: }i=j \mbox{ nebo } j=k \mbox{ nebo } k=i
\end{matrix}
\right.

což nahrazuje

 \mathbf{u} \times \mathbf{v} = (u_2 v_3 - u_3 v_2) \mathbf{e}_1 + (u_3 v_1 - u_1 v_3) \mathbf{e}_2 + (u_1 v_2 - u_2 v_1) \mathbf{e}_3

z

 \mathbf{u} \times \mathbf{v}= \varepsilon_{ijk} \mathbf{e}_i u_j v_k = \sum_{i = 1}^3 \sum_{j = 1}^3 \sum_{k = 1}^3 \varepsilon_{ijk} \mathbf{e}_i u_j v_k
   .

Pokud označíme  \mathbf{w} = \mathbf{u} \times \mathbf{v}, pak můžeme psát  \mathbf{w} = \varepsilon_{ijk} \mathbf{e}_i u_j v_k a též pro jednotlivé složky \ w_i = \varepsilon_{ijk} u_j v_k . V posledním zápisu se index i objevuje pouze jednou na obou stranách rovnice, a proto se v tomto případě nejedná o součet, ale spíše o systém rovnic:


\begin{matrix}
w_1 = \varepsilon_{1jk} u_j v_k\\
w_2 = \varepsilon_{2jk} u_j v_k\\
w_3 = \varepsilon_{3jk} u_j v_k
\end{matrix}

Alternativně lze vektorový součin vyjádřit jako


 \mathbf{u} \times \mathbf{v}= \mathbf{u} \cdot \varepsilon \cdot \mathbf{v}

kde  \varepsilon je tenzorový zápis Levi-Civitova symbolu. Tota notace ale nepochází od Einsteina.

Abstraktní definice[editovat | editovat zdroj]

Uvažujme vektorový prostor V  s konečnou dimenzí n a určitou bázi V. Bázové vektory můžeme psát jako e1, e2, …, en. Pak jestliže v je vektor v prostoru V, má vzhledem k bázi souřadnice v1, …, vn.

Základní pravidlo:

v = vi ei.

V tomto příkladu se předpokládalo, že výraz na pravé straně byl sečten přes i  s hodnotami 1 až n, protože index i se neobjevuje na obou stranách výrazu. (Nebo, použijeme-li Einsteinovu konvenci, protože se index i  objevil dvakrát.)

Index i se také označuje jako nepravý index protože výsledek na něm nezávisí; tudíž můžeme také například psát :

v = vj ej.

Index, přes který se nesčítá, je volný index a může se vyskytnout v každém členu rovnice nebo výrazu.

Tam, kde se index musí objevit jednou jako dolní index a jednou jako horní index, si základní vektor ei ponechá dolní index, ale souřadnice budou vi s horním indexem. Pak základní pravidlo je:

v = vi ei.

Hodnota Einsteinovy konvence je také v tom, že se aplikuje k dalším vektorovým prostorům vystavěných z V  použitím tenzorového součinu a duality. Například V\otimes V, tenzorový součin V  se sebou samým, má bázi skládající se z tenzorů tvaru \mathbf{e}_{ij} = \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j. Libovolný tenzor T v V\otimes V lze psát jako:

\mathbf{T} = T^{ij}\mathbf{e}_{ij}.

V*, duální prostor k V, má bázi e1, e2, …, en která splňuje pravidlo

\mathbf{e}^i (\mathbf{e}_j) = \delta_{i}^j.

Zde δ je Kroneckerovo delta, tak \delta_{i}^j je 1 jestliže i =j  a 0 v ostatních případech.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Einsteinova sumace se stane jasnější s pomocí několika jednoduchých příkladů. Uvažujme čtyřrozměrný časoprostor, s indexy od 0 do 3 :

a^\mu b_\mu = a^0 b_0 + a^1 b_1 + a^2 b_2 + a^3 b_3
a^{\mu\nu} b_\mu = a^{0\nu} b_0 + a^{1\nu} b_1 + a^{2\nu} b_2 + a^{3\nu} b_3.

Výše uvedený příklad je jedno ze zúžení, obecné tenzorové operace. Tenzor  a^{\mu\nu}b_{\alpha} přejde do nového tenzoru sumací přes první horní a dolní index. Typicky je výsledný tenzor přejmenován pomocí odstranění zužovacích indexů :

s^{\nu} = a^{\mu\nu}b_{\mu}.

Podobný příklad - uvažujme skalární součin dvou vektorů a a b. Skalární součin je definován jednoduše jako suma přes indexy a a b:

\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_{\alpha}b^{\alpha} = a^0 b_0 + a^1 b_1 + a^2 b_2 + a^3 b_3,