Dračí křivka

10. iterace dračí křivky

Dračí křivka (z angl. Dragon curve) je sobě-podobná křivka, která má vlastnosti fraktálu. Může být aproximována např. L-systémem nebo systémem iterovaných funkcí. Poprvé jí popsal fyzik z výzkumného střediska NASA John Heighway , po kterém je někdy nazývána „Heighway Dragon“.

Vlastnosti

• soběpodobnost – dračí křivka má mnoho sobě-podobných částí, které jsou vzájemně otočeny o 45° a jejich velikosti jsou násobky v poměru 1:√2

• rozměry křivky jsou 1,5 × 1 (při délce výchozí úsečky 1)

• délka křivky se každou iterací násobí √2, z každého segmentu délky s se stanou dva segmenty délky $\textstyle{s \over \sqrt{2}}$

${2s \over \sqrt{2}} = {2s \over \sqrt{2}} \cdot {\sqrt{2} \over \sqrt{2}} = \sqrt{2}s$

• křivka nikdy neprotne sama sebe, to je vidět, když se vykreslí se zkosenými rohy

• fraktálová dimenze křivky je $\textstyle{{\ln 2 \over \ln \sqrt{2}} = 2}$, jedná se tedy o plochu-vyplňující křivku
• plocha křivky je $\textstyle{1 \over 2}$ (při délce výchozí úsečky 1)
• fraktálovou dimenzi hranice křivky numericky aproximovali Angel Chang a Tianrong Zhang, dnes již známe analytické vyjádření:

$\log_2\left(\frac{1+\sqrt[3]{73-6\sqrt{87}}+\sqrt[3]{73+6\sqrt{87}}}{3}\right)\cong 1.523627086202492.$

Konstrukce

Jedna z možných konstrukcí je následující. Začne se s úsečkou o libovolné délce. V Každém kroku se nad každou úsečkou postaví pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník. Přepona tohoto trojúhelníka bude výchozí úsečka a orientace trojúhelníka se bude střídat, na první úsečce doleva, na druhé doprava (směr vzhledem k průchodu křivkou). Nakonec se přepony odeberou a vznikne další iterace.

Animace vývoje:

L-systém

Výše uvedený postup lze simulovat následujícím L-systémem:

gramatika
abeceda:	R L + -
axiom:	R(1)
přepis. pravidla:	R(d) → - R(d/√2) ++ L(d/√2) -
	L(d) → + R(d/√2) -- L(d/√2) +
interpretace
úhel otočení:	45°

Tento L-systém je parametrický, dračí křivka však lze popsat i bezparametrickým L-systémem. Ten má tu nevýhodu, že výsledná velikost obrázku, záleží na počtu iterací (na rozdíl od prvního L-systému). Na druhou stranu se v něm nevyskytují žádná iracionální čísla, se kterými počítače neumí pracovat, proto bude aproximace velmi přesná i pro vysoké iterace.

gramatika
abeceda:	L R + -
axiom:	L
přepis. pravidla:	L → L+R+
	R → -L-R
interpretace
úhel otočení:	90°

Výsledek bude vznikat po iteracích takto:

Systémy iterovaných funkcí

Dračí křivka je také limita následujícího systému iterovaných funkcí v komplexní rovině:

$f_1(z)={(1+i)z \over 2}$

$f_2(z)=1-{(1-i)z \over 2}.$

Použitím dvojice reálných čísel místo komplexního dostaneme tyto dvě funkce:

$f_1(x,y)= {1 \over \sqrt{2}} \begin{pmatrix} \cos 45^{\circ} & -\sin 45^{\circ} \\ \sin 45^{\circ} & \cos 45^{\circ} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

$f_2(x,y)= {1 \over \sqrt{2}} \begin{pmatrix} \cos 135^{\circ} & -\sin 135^{\circ} \\ \sin 135^{\circ} & \cos 135^{\circ} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

Skládání papíru

Pomocí proužku papíru se dá Dračí křivka sestrojit následovně. Proužek přehýbáme napůl tak dlouho, dokud nevznikne čtverec. Poté jednotlivá složení rozevíráme, vždy ale jen o 90 stupňů.

Dláždění roviny

Protože Dračí křivka má vlastnosti plochu-vyplňující křivky a dá se přikládat sama k sobě tak, že části na sebe těsně dolehnou, dá se pomocí ní dláždit rovina. Na následujících obrázcích je několik způsobů dláždění.

• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 

Související články

• Fraktál
• L-systém