Svaz (matematika)

Svaz je matematický pojem z algebry, konkrétněji z oboru teorie uspořádání, který vymezuje mezi uspořádanými množinami ty, které jsou uspořádány „rozumně“ (to znamená, že zachovávají suprema a infima).

Definice[editovat | editovat zdroj]

Množinu $X$ uspořádanou relací $R$ nazveme svazem, pokud pro každou dvouprvkovou podmnožinu obsahuje i její supremum a infimum.^[1]

(\forall a,b\in X)(\exists i,s\in X)((i=\inf _{R}\{a,b\})\land (s=\sup _{R}\{a,b\}))

Jako horní polosvaz se označuje uspořádaná množina zachovávající suprema:

(\forall a,b\in X)(\exists s\in X)(s=\sup _{R}\{a,b\})

A jako dolní polosvaz se označuje uspořádaná množina zachovávající infima:

(\forall a,b\in X)(\exists i\in X)(i=\inf _{R}\{a,b\})

Takže jde také definovat, že uspořádaná množina je svazem právě tehdy, je-li zároveň horním i dolním polosvazem.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Zajímavými příklady svazu jsou řetězec a protiřetězec. Pokud $X\,\!$ obsahuje právě jeden prvek, pak jej nazýváme triviální svaz.

Potenční algebra (tj. množina všech podmnožin nějaké množiny s uspořádáním relací "být podmnožinou") je svaz, protože sjednocení je v tomto případě supremem a průnik infimem

$\inf _{\subseteq }\{a,b\}=a\cap b\,\!$
$\sup _{\subseteq }\{a,b\}=a\cup b\,\!$

Uvažujme o množině všech přirozených čísel a o uspořádání $R\,\!$ , pro které platí, že
$a\leq _{R}b\Leftrightarrow a|b\,\!$ (tj. a je menší než b, pokud a dělí b)
Opět se jedná o svaz, protože nejmenší společný násobek je supremum a největší společný dělitel je infimum dvouprvkové množiny přirozených čísel podle tohoto uspořádání.

Svazová algebra[editovat | editovat zdroj]

Na svazu lze poměrně snadno definovat dvě binární operace, které označují supremum a infimum dvouprvkové množiny (můžeme si je nazvat třeba součet a součin).

Svaz je pak zapisován jako $(X,\land ,\vee )\,\!$ , kde
$a,b\in X$ a platí $a\land b=\inf _{R}\{a,b\}$ a zároveň $a\vee b=sup_{R}\{a,b\}\,\!$

Příklad svazové algebry[editovat | editovat zdroj]

Pokud budeme uvažovat o množině přirozených čísel a jejím běžném uspořádání podle velikosti, pak výše definovanými operacemi nejsou běžný součet a součin, ale operace

$a\land b=\min(a,b)\,\!$
$a\vee b=\max(a,b)\,\!$

Neutrální prvky svazu[editovat | editovat zdroj]

Pokud má svaz nejmenší prvek vzhledem k relaci $R\,\!$ , pak je tento prvek neutrální vzhledem k operaci suprema, můžeme ho tedy označit symbolem 0 a platí pro něj:

$a\land 0=0\,\!$
$a\vee 0=a\,\!$

Pokud má svaz největší prvek vzhledem k relaci $R\,\!$ , pak je tento prvek neutrální vzhledem k operaci infima, můžeme ho tedy označit symbolem 1 a platí pro něj:

$a\land 1=a\,\!$
$a\vee 1=1\,\!$

Pokud se vrátím k předchozímu případu, je číslo 0 neutrálním prvkem pro supremum, ale neexistuje žádný největší prvek, takže neexistuje ani neutrální prvek pro infimum – s trochou nadsázky by se dalo říct, že v našem případě „přirozené číslo 1 není symbol 1“

Pokud se vrátím k příkladu potenční algebry, pak jako 0 mohu označit prázdnou množinu a jako 1 celou původní množinu (ze které jsou vybírány podmnožiny).

Komplementární svaz[editovat | editovat zdroj]

Pokud existují prvek 0 a 1 (tj. nejmenší a největší prvek svazu), pak komplementem prvku a nazveme prvek (značený obvykle -a), který je k němu opačný ve smyslu svazových operací:

$a\land -a=0\,\!$
$a\vee -a=1\,\!$

Svaz, ve kterém má každý prvek alespoň jeden komplement, nazveme komplementárním svazem.^[2]

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Potenční algebra je vždy komplementární svaz, komplementem každého prvku je jeho doplněk do celé množiny.

Svaz bez největšího prvku nemůže být komplementární. To znamená, že přirozená čísla nejsou ani při uspořádání podle velikosti, ani při uspořádání podle dělitelnosti (viz předchozí příklady) komplementární svazy.