Distribuce (diferenciální geometrie)

V diferenciální geometrii se zavádějí jistá zobrazení, která zobrazují z diferencovatelné variety do jejích tečných prostorů. Každému bodu variety je specifickým způsobem přiřazen vektorový prostor, který je podprostorem tečného prostoru v daném bodě variety. Takovýmto zobrazením se říká distribuce. Navzdory svému názvu nemají nic společného s distribucemi alias zobecněnými funkcemi známými z matematické analýzy.

Definice

Mějme diferencovatelnou varietu $\scriptstyle M$ a označme tečný prostor v libovolném bodě této variety $\scriptstyle p\in M$ jako $\scriptstyle T_{p}M$. Pak termínem k-rozměrná distribuce na varietě $\scriptstyle M$ rozumíme hladké přiřazení k-rozměrného podprostoru $\scriptstyle T_{p}M$ každému bodu $\scriptstyle p\in M$. Toto přiřazení značíme $\scriptstyle \Delta _{k}$. Neboli

$(\forall p\in M)(\exists U=U^{\circ }\subset M,p\in U)(\exists X_{1},\ldots ,X_{k}\in {\mathcal {X}}(U))(\forall q\in U)(\{X_{1}|_{q},\dots X_{k}|_{q}\}\ {\text{jsou LN a}}\ \Delta _{k}(q)={\text{span}}\{X_{1}|_{q},\ldots ,X_{k}|_{q}\})$,

kde $\scriptstyle U\subset M$ je okolí bodu $\scriptstyle p\in M$, $\scriptstyle {\mathcal {X}}(U)$ je množina (hladkých) vektorových polí na okolí $\scriptstyle U$, $\scriptstyle {\text{span}}$ značí lineární obal vektorů, LN je zkratka pro "lineární nezávislost" a $\scriptstyle X_{i}|_{q}$ označuje hodnotu vektorového pole $\scriptstyle X_{i}$ v bodě $\scriptstyle q\in U$.

Občas se v definici k-rozměrné distribuce nepožaduje její hladkost. Výše uvedenou definicí se v takovém případě zavádí pojem hladké k-rozměrné distribuce.

Přidružené pojmy

Uvažujme nyní diferencovatelnou varietu $\scriptstyle M$ o dimenzi n a na ní definovanou k-rozměrnou distribuci $\scriptstyle \Delta _{k}$. O této distribuci řekneme, že je (úplně) integrabilní, právě když pro každý bod $\scriptstyle p\in M$ existuje jeho okolí $\scriptstyle U=U^{\circ }\subset M$ a na něm souřadnice $\scriptstyle (x^{1},\ldots ,x^{k},y^{1},\ldots ,y^{n-k})$ takové, že plochy určené soustavou rovnic

$\scriptstyle {\begin{matrix}y^{1}&=&konst.\\&\vdots &\\y^{n-k}&=&konst.\\\end{matrix}}$

(bráno jako podmnožiny v okolí $\scriptstyle U$) jsou integrální podvariety $\scriptstyle \Delta _{k}$. Souřadnice $\scriptstyle (x^{1},\ldots ,x^{k},y^{1},\ldots ,y^{n-k})$ pak nazýváme Frobeniova mapa.

Uvažujme opět diferencovatelnou varietu $\scriptstyle M$ a na ní definovanou k-rozměrnou distribuci $\scriptstyle \Delta _{k}$. Dále nechť $\scriptstyle N$ je n-rozměrná vnořená podvarieta variety $\scriptstyle M$, tj. existuje vnoření $\scriptstyle i:N\to M$. Pokud

$(\forall p\in N)(i_{\ast }(T_{p}N)\subset \Delta _{k}(i(p)))$,

kde $\scriptstyle i_{\ast }$ označuje tečné zobrazení k zobrazení $\scriptstyle i$, tak podvarietu $\scriptstyle N$ nazveme n-rozměrnou integrální podvarietou.

Frobeniova věta o integrabilitě distribucí

Buď $\scriptstyle \Delta _{k}$ k-rozměrná distribuce na diferencovatelné varietě $\scriptstyle M$. Pokud platí

$(\forall U=U^{\circ }\subset M)(\forall X,Y\in {\mathcal {X}}(U))(\forall p\in U)(X|_{p},Y|_{p}\in \Delta _{k}(p)\Rightarrow [X,Y]|_{p}\in \Delta _{k}(p))$,

tak k $\scriptstyle \Delta _{k}$ existuje v okolí každého bodu integrální podvarieta.(Význam jednotlivých symbolů ve vzorci je tentýž jako ve vzorcích předchozích.)

Krátce řečeno, pokud je $\scriptstyle \Delta _{k}$ v involuci, tj. $\scriptstyle [\Delta _{k},\Delta _{k}]\subset \Delta _{k}$, tak je $\scriptstyle \Delta _{k}$ integrabilní.