Difeomorfismus

Tento článek není dostatečně ozdrojován a může tedy obsahovat informace, které je třeba ověřit.
Jste-li s popisovaným předmětem seznámeni, pomozte doložit uvedená tvrzení doplněním referencí na věrohodné zdroje.

Difeomorfizmus je v matematice zobrazení, které je spojitě diferencovatelné a existuje k němu inverzní zobrazení, které je také spojitě diferencovatelné. Pokud mezi množinami $A$ a $B$ existuje difeomorfizmus, říkáme, že množiny jsou difeomorfní. Definice se používá obvykle buď pro otevřené podmnožiny Eukleidova prostoru $\R^n$, anebo pro hladké variety, kde je diferencovatelnost zobrazení také dobře definovaný pojem.

Formální definice

Pro variety M a N, je bijekce $f$ z M do N difeomorfizmus pokud jak

$f:M\to N$

tak i inverze

$f^{-1}:N\to M$

jsou diferencovatelné (pokud jsou tyto funkce dokonce r krát spojitě diferencovatelé, f se nazývá $C^r$-difeomorfmizmus).

Dvě variety M a N jsou difeomorfní, pokud existuje difeomorfizmus :$f:M\to N$.

Podobně funkce :$f : M\to N\,$ se nazývá lokální difeomorfizmus, pokud pro každý bod $x\in M$ existuje jeho okolí U takové, že $f(U)$ je otevřené v N a

$f|_U : U\to f(U)\,$

je difeomorfizmus.

Příklady

• Polární souřadnice $(r,\phi)$ v rovině můžeme chápat jako difeomorfizmus

$(0,\infty)\times (-\pi, \pi) \to \R^2\backslash \{(x,0);\,\,x\leq 0\},$

definován vzorcem

$(r,\phi)\mapsto (x,y)=(r\cos\phi, r\sin \phi).$

Toto zobrazení má v každém $(r,\phi)$ totální diferenciál, stejně jako inverzní zobrazení.

• Eukleidovská rovina je difeomorfní sféře bez jednoho bodu, příslušný difeomorfizmus je stereografická projekce.

Viz též

• Homeomorfismus