Diamantový princip

Diamantový princip (značí se ◊) je matematické tvrzení z oblasti teorie množin, konkrétně nekonečné kombinatoriky. Jde o tvrzení nezávislé na axiomech Zermelo-Fraenkelovy teorie množin s axiomem výběru. Poprvé ho formuloval roku 1968 Ronald Björn Jensen.

Znění

Diamantový princip lze formulovat následovně:

Existuje posloupnost $(M_\alpha;\,\alpha\in\omega_1)$ množin taková, že $M_\alpha\subseteq\alpha$ a pro každou množinu $X\subseteq\omega_1$ je $\{\alpha;X\cap\alpha=M_\alpha\}\,\!$ stacionární množina v $\,\omega_1\,\!$.

Vztah k jiným dodatečným axiomům

Diamantový princip není dokazatelný ani vyvratitelný v ZFC – to lze ukázat užitím forcingu . Jeho „sílu“ v porovnání s ostatními nezávislými tvrzeními lze vyjádřit následovně:

• Diamantový princip platí v univerzu konstruovatelných množin, vyplývá tedy z axiomu konstruovatelnosti.
• Z diamantového principu plyne hypotéza kontinua. Důkaz tohoto tvrzení je velmi snadný.
• Diamantový princip implikuje rovněž existenci Suslinova stromu a tedy neplatnost Suslinovy hypotézy.

Zobecnění

Diamantový princip lze zobecnit následujícím způsobem na tvrzení $\diamond_\lambda(I)$, kde $\lambda$ je nespočetný regulární kardinál a $I\subseteq\lambda$:

Existuje posloupnost $(M_\alpha;\,\alpha\in I)$ množin taková, že $M_\alpha\subseteq\alpha$ a pro každou množinu $X\subseteq\lambda$ je $\{\alpha;X\cap\alpha=M_\alpha\}$ stacionární množina v $\,\lambda\,\!$.

Místo $\diamond_\lambda(\lambda)$ se píše pouze $\diamond_\lambda$. Klasický diamantový princip $\,\diamond$ pak odpovídá $\diamond_{\omega_1}$.......

Odkazy

Související články

• Suslinova hypotéza
• Hypotéza kontinua

Literatura

• BALCAR, Bohuslav; ŠTĚPÁNEK, Petr. Teorie množin. 2. opr. a rozš. vyd. [s.l.] : Academia, 2001. ISBN 80-200-0470-X.