Diamantový princip

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Diamantový princip (značí se ◊) je matematické tvrzení z oblasti teorie množin, konkrétně nekonečné kombinatoriky. Jde o tvrzení nezávislé na axiomech Zermelo-Fraenkelovy teorie množin s axiomem výběru. Poprvé ho formuloval roku 1968 Ronald Björn Jensen.

Obsah

1 Znění
2 Vztah k jiným dodatečným axiomům
3 Zobecnění
4 Odkazy
- 4.1 Související články
- 4.2 Literatura

[editovat] Znění

Diamantový princip lze formulovat následovně:

Existuje posloupnost $(M_\alpha;\,\alpha\in\omega_1)$ množin taková, že $M_\alpha\subseteq\alpha$ a pro každou množinu $X\subseteq\omega_1$ je $\{\alpha;X\cap\alpha=M_\alpha\}$ stacionární množina v $\,\omega_1$ .

[editovat] Vztah k jiným dodatečným axiomům

Diamantový princip není dokazatelný ani vyvratitelný v ZFC – to lze ukázat užitím forcingu . Jeho „sílu“ v porovnání s ostatními nezávislými tvrzeními lze vyjádřit následovně:

Diamantový princip platí v univerzu konstruovatelných množin, vyplývá tedy z axiomu konstruovatelnosti.
Z diamantového principu plyne hypotéza kontinua. Důkaz tohoto tvrzení je velmi snadný.
Diamantový princip implikuje rovněž existenci Suslinova stromu a tedy neplatnost Suslinovy hypotézy.

[editovat] Zobecnění

Diamantový princip lze zobecnit následujícím způsobem na tvrzení $\diamond_\lambda(I)$ , kde $λ$ je nespočetný regulární kardinál a $I\subseteq\lambda$ :

Existuje posloupnost $(M_\alpha;\,\alpha\in I)$ množin taková, že $M_\alpha\subseteq\alpha$ a pro každou množinu $X\subseteq\lambda$ je $\{\alpha;X\cap\alpha=M_\alpha\}$ stacionární množina v $\,\lambda$ .

Místo $\diamond_\lambda(\lambda)$ se píše pouze $\diamond_\lambda$ . Klasický diamantový princip $\,\diamond$ pak odpovídá $\diamond_{\omega_1}$ .......