D'Alembertův princip

d'Alembertův princip je důležité tvrzení týkající se zákonů pohybu v klasické mechanice. Představuje ekvivalentní vyjádření druhého Newtonova zákona. Nese jméno svého objevitele, kterým byl francouzský fyzik a matematik Jean le Rond d'Alembert. d'Alembertův princip je základem lagrangeovské mechaniky.

Tento princip říká: Přičtou-li se ke vtištěným silám (vnější síly i reaktivní síly vazeb) síly setrvačné, budou síly mechanického systému v rovnováze.

d'Alembertův princip bývá také formulován ve formě virtuálních prací: Při vratném virtuálním posunutí (tj. je-li systém podroben oboustranným vazbám) je virtuální práce všech efektivních sil systému nulová.

Matematická formulace

Matematicky je vhodné princip zapisovat ve formě virtuálních prací, kdy není nutno uvažovat neefektivní vazbové síly.

Pro oboustranné vazby:

$\sum_{i} ( \mathbf {F}_{i} - m_i \mathbf{a}_i )\cdot \delta \mathbf r_i = 0$,

kde $\mathbf{F}_i$ je výslednice vnějších sil působící na i-tou částici (hmotný bod) systému, $\delta \mathbf{r}_i$ je virtuální posunutí $i$-té částice, které je v souladu s omezujícími podmínkami (vazbami), $\mathbf{r}_i$ a $m_i$ jsou její polohový vektor resp. hmotnost a $\mathbf{a}_i = \frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}_i}{\mathrm{d}t^2}$ její zrychlení.

Zobecnění pro jednostranné vazby:

$\sum_{i} ( \mathbf {F}_{i} - m_i \mathbf{a}_i )\cdot \delta \mathbf r_i \leqq 0$.

Speciální případy

Žádné vazby

V případě, že neexistují žádné vazby, jsou virtuální posunutí $\delta \mathbf{r}_i\,\!$ nezávislá a platí

$m_i\ddot{\mathbf{r}}_i-\mathbf{F}_i=0$.

Princip tak přechází v Newtonovy pohybové rovnice jednotlivých volných částic systému:

$\mathbf{F}_i = m_i\ddot{\mathbf{r}}_i$.

Žádná zrychlení

V případě pohybů částic systému bez zrychlení se d'Alembertův princip redukuje na podmínky rovnováhy:

$\sum_{i=1}\mathbf{F}_i \cdot \delta\mathbf{r}_i=0$

Tento vztah představuje princip virtuální práce, podle kterého je práce vykonaná při libovolném virtuálním posunutí systému z rovnovážné polohy nulová.

Důsledky

Z d'Alembertova principu pro vratná virtuální posunutí a z rovnic vazeb přímo vyplývají Lagrangeovy rovnice prvního druhu.

Literatura

• BRDIČKA, Miroslav; HLADÍK, Arnošt. Teoretická mechanika. Redakce Karel Juliš, Aleš Baďura, Petr Čech. 1. vyd. Praha : Academia, 1987. 584 s. 21-093-87. Kapitola 3.5 Princip d'Alembertův, s. 228-244.  
• LEECH, J. W.. Klasická mechanika. 1. vyd. Praha : SNTL, 1970. 136 s. (Teoretická knižnice inženýra.) 04-012-70. Kapitola Princip virtuální práce a d'Alembertův princip, s. 17-21.  

Související články

• Lagrangeovská formulace mechaniky
• Princip virtuální práce
• Fermatův princip