D'Alembertův princip

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

d'Alembertův princip je důležité tvrzení týkající se zákonů pohybu v klasické mechanice. Představuje ekvivalentní vyjádření druhého Newtonova zákona. Nese jméno svého objevitele, kterým byl francouzský fyzik a matematik Jean le Rond d'Alembert. d'Alembertův princip je základem lagrangeovské mechaniky.

Tento princip říká: Přičtou-li se ke vtištěným silám (vnější síly i reaktivní síly vazeb) síly setrvačné, budou síly mechanického systému v rovnováze.

d'Alembertův princip bývá také formulován ve formě virtuálních prací: Při vratném virtuálním posunutí (tj. je-li systém podroben oboustranným vazbám) je virtuální práce všech efektivních sil systému nulová.

Matematická formulace[editovat | editovat zdroj]

Matematicky je vhodné princip zapisovat ve formě virtuálních prací, kdy není nutno uvažovat neefektivní vazbové síly.

Pro oboustranné vazby:

\sum_{i} ( \mathbf {F}_{i} - m_i \mathbf{a}_i )\cdot \delta \mathbf r_i = 0,

kde \mathbf{F}_i je výslednice vnějších sil působící na i-tou částici (hmotný bod) systému, \delta \mathbf{r}_i je virtuální posunutí i-té částice, které je v souladu s omezujícími podmínkami (vazbami), \mathbf{r}_i a m_i jsou její polohový vektor resp. hmotnost a \mathbf{a}_i = \frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}_i}{\mathrm{d}t^2} její zrychlení.

Zobecnění pro jednostranné vazby:

\sum_{i} ( \mathbf {F}_{i} - m_i \mathbf{a}_i )\cdot \delta \mathbf r_i \leqq  0.

Speciální případy[editovat | editovat zdroj]

Žádné vazby[editovat | editovat zdroj]

V případě, že neexistují žádné vazby, jsou virtuální posunutí \delta \mathbf{r}_i\,\! nezávislá a platí

m_i\ddot{\mathbf{r}}_i-\mathbf{F}_i=0.

Princip tak přechází v Newtonovy pohybové rovnice jednotlivých volných částic systému:

\mathbf{F}_i = m_i\ddot{\mathbf{r}}_i.

Žádná zrychlení[editovat | editovat zdroj]

V případě pohybů částic systému bez zrychlení se d'Alembertův princip redukuje na podmínky rovnováhy:

\sum_{i=1}\mathbf{F}_i \cdot \delta\mathbf{r}_i=0

Tento vztah představuje princip virtuální práce, podle kterého je práce vykonaná při libovolném virtuálním posunutí systému z rovnovážné polohy nulová.

Důsledky[editovat | editovat zdroj]

Z d'Alembertova principu pro vratná virtuální posunutí a z rovnic vazeb přímo vyplývají Lagrangeovy rovnice prvního druhu.

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • BRDIČKA, Miroslav; HLADÍK, Arnošt. Teoretická mechanika. Redakce Karel Juliš, Aleš Baďura, Petr Čech. 1. vyd. Praha : Academia, 1987. 584 s. 21-093-87. Kapitola 3.5 Princip d'Alembertův, s. 228-244.  
  • LEECH, J. W.. Klasická mechanika. 1. vyd. Praha : SNTL, 1970. 136 s. (Teoretická knižnice inženýra) 04-012-70. Kapitola Princip virtuální práce a d'Alembertův princip, s. 17-21.  

Související články[editovat | editovat zdroj]