d'Alembertův operátor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

V matematice a fyzice je d'Alembertův operátor, nebo d'Alembertián diferenciální operátor nazvaný podle Jean le Rond d'Alemberta. Jedná se o speciální případ Laplaceova operátoru pro čtyřrozměrný Minkowského prostor s metrikou diag(-1,1,1,1). Značí se značkou \square. Využívá se ve speciální teorii relativity, v elektromagnetismu a v relativistické formulaci kvantové teorie (viz Kleinova-Gordonova rovnice).

d'Alembertův operátor v kartézských souřadnicích je roven

\square f=
\frac{\partial^2 f}{\partial (x_1)^2}
+\frac{\partial^2 f}{\partial (x_2)^2}
+\frac{\partial^2 f}{\partial (x_3)^2}
-\frac{\partial^2 f}{\partial (x_0)^2},

nebo speciálně za použití souřadnic (ct,x,y,z)

\square f=\eta^{\mu\nu}\partial_{\mu}\partial_{\nu} f=
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}
+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}
+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}
-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 f}{\partial {t}^2},

V látkovém prostředí se někdy používá definice

\square f=
\Delta f-\mu\varepsilon\frac{\partial^2 f}{\partial {t}^2}=
\Delta f-\frac{N^2}{c^2}\frac{\partial^2 f}{\partial {t}^2},

kde \mu,\varepsilon jsou permeabilita a permitivita daného materiálu a N je jeho index lomu.

Vektorové diferenciální operátory
NablaGradientDivergenceRotaceLaplaced'Alembertův operátor