Dělení se zbytkem

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Je navrženo začlenit obsah tohoto článku do článku Zbytek po dělení (diskuse), a tak oba články sloučit.

Vydělit celé číslo a celým nenulovým číslem b dělením se zbytkem znamená přiřadit k němu pár celých čísel q a r ,tak aby (r∈[0,|b|) ∩); q pak nazýváme podíl a r zbytek

[editovat] Příklad

je dělení se zbytkem čísla 13 čislem 3.

[editovat] Existence

Existence takového páru v případě že a a b jsou přirozená se dá dokázat následovně:

Vezměme množinu všech celých čísel k,tak aby bk ≤ a.Tato množina je majorovaná a jelikož je to množina celých čisel,tak má maximum.Nazvěme si toto maximum q.Potom máme qb≤a<(q+1).b z čehož vyplývá že 0≤a-qb<b. Nechť r=a-qb. Potom a=bq+r a r∈[0,|b|)∩

[editovat] Jedinečnost

Jedinečnost tohoto páru(fakt že takových párů není víc než jeden)lze dokázat následovně:

Nechť a=b.q+r(r∈[0,|b|) a a=b.q'+r'(r∈[0,|b|)

b.q+r=b.q'+r'

b.(q-q')+(r-r')=0

b.(q'-q)=(r-r')

Z této rovnosti vyplývá,že r-r' je dělitelné b.

0≤r<|b| a 0≤r'<|b|

0≤r<|b| a -|b|≤-r'<|b|

Z čehož vyplývá že =-|b|<r-r'<|b| avšak mezi -|b| a |b|,jediný násobek b je 0 a tudíž r-r'=0 r=r' a b.(q'-q)=0 a jelikož b≠0,tak q'-q=0 q'=q.

Jedinečnost páru (b;q) je tímto dokázaná