Centrovaný systém

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Centrovaný systém je matematický pojem z oboru teorie množin, týkající se konkrétně studia systémů podmnožin nějaké dané množiny.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Předpokládejme, že  S \,\! je množina podmnožin množiny  X \,\! (někdy se také říká, že  S \,\! je systém množin na  X \,\! ), tj.  S \subseteq \mathbb{P}(X) \,\! , kde  \mathbb{P}(X) \,\! je potenční množina množiny  X \,\! . O množině  S \,\! řekneme, že se jedná o centrovaný systém, pokud je průnik každé její konečné podmnožiny neprázdný:
 ( \forall y_1,y_2,\ldots,y_n \isin S)( y_1 \cap y_2 \cap \ldots \cap y_n \neq \emptyset) \,\!

Vlastnosti a příklady[editovat | editovat zdroj]

Triviální centrovaný systém[editovat | editovat zdroj]

Pokud má celý systém  S \,\! neprázdný průnik, pak je centrovaný - pro jeho libovolnou neprázdnou podmnožinu  Y \subseteq S \,\! (nejen konečnou) platí
 \emptyset \neq \bigcap S \subseteq \bigcap Y \implies \emptyset \neq \bigcap Y \,\!

Netriviální centrovaný systém[editovat | editovat zdroj]

Otázka zní, zda existují i nějaké netriviální centrované systémy - tj. takové, že  \bigcap S = \emptyset \,\! , ale přitom je systém (vzhledem ke konečným podmnožinám) centrovaný.

Uvažujme o nekonečném systému množin přirozených čísel
 S = \{ u_1,u_2,u_3,u_4,\ldots \} \,\! , kde  u_i \,\! je množina všech nenulových násobků čísla  i \,\! , tj.

  •  u_1 = \{ 1,2,3,\ldots \} \,\!
  •  u_2 = \{ 2,4,6,\ldots \} \,\!
  •  u_3 = \{ 3,6,9,\ldots \} \,\!
  •  u_4 = \{ 4,8,12,\ldots \} \,\!
  •  \ldots \,\!

Jedná se o centrovaný systém - vezmeme-li jakoukoliv jeho konečnou podmnožinu a určíme číslo  k \,\! jako nejmenší společný násobek indexů prvků této konečné podmnožiny  S \,\! (například pro  \{ s_3, s_5, s_6, s_8 \} \,\! je  k = 120 \,\! ), pak  u_k \,\! je (neprázdným) průnikem této podmnožiny.
Navíc se jedná o netriviální centrovaný systém - pokud by byl průnik celého systému  \bigcap S \,\! neprázdný, pak by muselo existovat nějaké přirozené číslo  n \isin \bigcap S \,\! a tím pádem by muselo mimo jiné být  n \isin u_{n+1} \,\! , což je nesmysl.

Vztah centrovaných systémů a filtrů[editovat | editovat zdroj]

Jedním z příkladů pro centrovaný systém jsou filtry. Filtr má nejen neprázdný průnik každé konečné podmnožiny - z podmínky, že filtr musí být dolů usměrněná množina dokonce plyne, že filtr musí sám v sobě obsahovat všechny průniky svých konečných podmnožin.

To pro centrovaný systém platit nemusí - například systém  \{ \{0,1,2 \},\{ 1,2,3 \} \} \,\! je centrovaný, ale rozhodně to není dolů usměrněná množina (neobsahuje totiž množinu  \{1,2 \} = \{0,1,2 \} \cap \{ 1,2,3 \} \,\! . Stejně tak nemusí centrovaný systém obsahovat s každou svou množinou i každou její nadmnožinu - nemusí to tedy být horní množina, kdežto filtr ano. To znamená, že zdaleka ne každý centrovaný systém je filtrem.

Na druhou stranu lze každý centrovaný systém  S \subseteq \mathbb{P}(X) \,\! rozšířit do nějakého filtru na množině  X \,\! . Snadno lze ukázat, že množina
 F(S) = \{ Y \subseteq X : (\exist Q \isin [S]^{<\omega})(\bigcap Q \subseteq Y) \} \,\!
je nejmenší filtr na  X \,\! , který v sobě obsahuje  S \,\! .

Výše uvedený zápis vypadá sice hrůzostrašně, ale říká v podstatě toto:

  1. Vezmu centrovaný systém  S \,\! .
  2. Přidám k němu všechny průniky jeho konečných podmnožin (čímž dostanu dolů usměrněnou nadmnožinu  S \,\! ).
  3. K výsledku pak přidám pro každý její prvek i všechny jeho nadmnožiny (čímž dostanu horní nadmnožinu  S \,\! , která je stále dolů usměrněná, takže výsledek je filtr).

Hlavní věta o ultrafiltrech[editovat | editovat zdroj]

Úvaha provedená v předchozím odstavci vlastně neříká nic jiného, než že každý centrovaný systém lze rozšířit (přidáním dalších množin) na filtr. Pokud tento poznatek zkombinuji s tím, že každý filtr lze (podle principu maximality rozšířit do ultrafiltru, dostávám tvrzení nazývané v teorii množin hlavní věta o ultrafiltrech:
Každý centrovaný systém lze rozšířit do ultrafiltru.

Související články[editovat | editovat zdroj]