Celistvý prvek

Celistvý prvek je pojem z oboru komutativní algebry. Je-li dán komutativní okruh $S$ a jeho podokruh $R$, pak je prvek $b\in S$ celistvý nad $R$, je-li kořenem nějakého monického polynomu s koeficienty z $R$, tedy pokud existují $n\geq 1$ a $r_{j}\in R$ taková, že $b^{n}+r_{n-1}b^{n-1}+\cdots +r_{1}b+r_{0}=0$. Definice celistvého prvku se liší od definice algebraického prvku pouze v přidaném požadavku, aby byl polynom monický, z čehož plyne, že každý celistvý prvek je algebraický.

Množina prvků $S$, které jsou celistvé nad $R$, se nazývá celistvý uzávěr $R$ v $S$.

Příklady

• Celistvé prvky nad celými čísly v racionálních číslech jsou právě všechna celá čísla.
• Pro okruh $\mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {5}}{\big )}$ je nad celými čísly celistvým uzávěrem okruh $\mathbb {Z} \!\left[{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right].$

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Ganzheit (kommutative Algebra) na německé Wikipedii.