Catalanova čísla

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Catalanova čísla jsou taková přirozená čísla C_n, která jsou určena následujícím předpisem:

C_n = \frac{1}{n+1}{2n\choose n} \qquad \forall n\ge 0

Zvláštního pojmenování si zasluhují především jejich souvislostí s překvapujícím množstvím kombinatorických úloh. Objevují se jako řešení problému počtu možných triangulací konvexního mnohoúhelníka, nebo třeba otázky počtu binárních stromů s n listy.

Tato čísla byla objevena Leonardem Eulerem při zkoumání již zmíněného triangulačního problému, své jméno dostala po Eugènovi Charlesovi Catalanovi, který si je objevil pro zjištění počtu korektně uzávorkovaných zápisů posloupností znaků „(“ a „)“.

Pro n = 0, 1, 2,… jsou první hodnoty C_n = 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429…

Rekurentní a uzavřený tvar[editovat | editovat zdroj]

Základní rekurentní rovnicí pro výpočet n-tého Catalanova čísla je

C_{0}=1
C_{n+1}=\sum_{i=0}^{n}C_i\,C_{n-i}\quad\mbox{pro }n > 0

Tato rekurence přímo vyvstává z většiny dále uváděných kombinatorických úloh. Například v případě počítání počtu binárních stromů vyjadřuje skutečnost, že binární strom na n vrcholech můžeme postavit buď tak, že do levého podstromu umístíme n vrcholů a do pravého žádný, nebo že do levého podstromu umístíme n-1 vrcholů a do pravého jeden, atd. Výše uvedená suma sčítá počet možností přes všechny takovéto alternativy.

Pro praktické počítání je možná výhodnější tento otevřený tvar:

C_{0}=1
C_{n+1}=\frac{2(2n+1)}{n+2}C_n\quad\mbox{pro }n > 0

V úvodu uvedený uzavřený předpis C_n = \frac{1}{n+1}{2n\choose n} není zcela triviální odvodit (viz dále). Jako alternativu je vhodné uvést vzorec

C_n = {2n\choose n} - {2n\choose n-1}

Je z něj dobře vidět, že všechna Catalanova čísla jsou celá, což z prvně uvedeného není zřejmé. Odvození tohoto druhého vzorce z prvního je jednoduché:

\frac{1}{n+1}{2n\choose n} = \frac{(2n)!}{(n+1)n!n!} = \frac{(n+1)(2n)!-n(2n)!}{(n+1)n!n!} = \frac{(2n)!}{n!n!} - \frac{(2n)!}{(n-1)!(n+1)!} = {2n\choose n} - {2n\choose n-1}

Kombinatorické úlohy vedoucí na Catalanova čísla[editovat | editovat zdroj]

Příklad catalanových číset v binárním strome
  • Počet korektních uzávorkování 2n závorek je C_n.
((()))     ()(())     ()()()     (())()     (()())
  • Počet triangulací konvexního n-úhelníka je C_{n-2}. Toto je ukázka pro n=6 (C_4 = 14).
Příklad CAtalanových čísel v n-úhelníku
  • Počet způsobů, jak se v mřížce n×n dostat z levého dolního do pravého horního rohu, aniž bychom překročili diagonálu nebo se vraceli, je C_n.
Catalovy čísla v mřížce 4×4

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]