Carmichaelova funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Carmichaelova funkce, pojmenovaná po Robertu Danielovi Carmichaelovi, je funkce z oboru teorie čísel značená λ(n), která pro přirozené číslo n vrátí nejmenší m takové, že

a^m \equiv 1 \pmod{n}

pro všechna přirozená čísla a menší než n a nesoudělná s n. Tedy vrátí exponent multiplikativní grupy celých čísel modulo n.

Prvních 26 hodnoto této funkce pro n = 1, 2, 3 ... je 1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 2, 6, 4, 10, 2, 12, 6, 4, 4, 16, 6, 18, 4, 6, 10, 22, 2, 20, 12, ...[1]

Carmichaelova věta[editovat | editovat zdroj]

Carmichaelova věta říká, že Carmichaelovu funkci lze definovat se stejným výsledkem také pomocí rekurze:

Pro prvočíslo p a kladné celé číslo k takové, že p≥3 nebo k≤2 definujeme

\lambda(p^k) = p^{k-1}(p-1).\,,

co zároveň odpovídá hodnotě Eulerovy funkce.

Pro celá čísla k≥3 definujeme

\lambda(2^k) = 2^{k-2}\,

a pro různá prvočísla p_1,p_2,\ldots,p_t a kladná celá čísla k_1,k_2,\ldots,k_t definujeme

\lambda(p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_t^{k_t}) = 
       \mathrm{NSN}( \lambda(p_1^{k_1}), \lambda(p_2^{k_2}), \ldots, \lambda(p_t^{k_t}) )

kde \mathrm{NSN} značí nejmenší společný násobek.

Jak je vidět, Carmichaelova věta zobecňuje výsledky Malé Fermatovy věty a Eulerovy věty.

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. tato posloupnost má v OEIS kód A002322