Cantorova-Bernsteinova věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Cantorova-Bernsteinova věta (také Cantorova-Schröderova-Bernsteinova věta) je matematické tvrzení z oblasti teorie množin, které má zásadní význam pro srovnávání nekonečných mohutností.

Znění[editovat | editovat zdroj]

Nejpřirozenější formulací Cantorovy-Bernsteinovy věty je následující:

Má-li množina A mohutnost menší nebo rovnu než množina B a množina B má mohutnost menší nebo rovnu než množina A, pak množiny A,B mají stejnou mohutnost.

Zapracujeme-li do této formulace i definici pojmu mohutnosti, dostaneme zápis o trochu méně srozumitelný, z nějž je však lépe vidět podstata problému:

Existují-li prosté zobrazení množiny A do množiny B, a prosté zobrazení množiny B do množiny A, pak existuje bijekce mezi těmito dvěma množinami.

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Zobrazení h

Nechť f:A\rightarrow B a g:B \rightarrow A jsou prostá zobrazení. Definujeme zobrazení h:P(A) \rightarrow P(A), kde P(A) je potenční množina A (množina všech podmnožin A), takto pro U \subseteq A : h(U)=g[B-f[A-U]] (viz obrázek). Snadno je vidět, že h je monotónní (pro U\subseteq V je h(U) \subseteq h(V)). Dále se dokáže, že každé monotónní zobrazení mezi P(A) a P(A) má pevný bod (množinu U takovou, že U\,=\,h(U)). K tomu stačí zvolit U = \bigcup \{V \subseteq A; V\subseteq h(V)\}. Nakonec, je-li W \subseteq A pevný bod h, položíme F(x)= \begin{cases} f(x) \mbox{ pro x}\in A-W \\ g^{-1}(x) \mbox{ pro x}\in W \end{cases}. Snadno se ověří, že F:A\rightarrow B je bijekce.

Historie[editovat | editovat zdroj]

Prvním, kdo formuloval tvrzení Cantorovy-Bernsteinovy věty, byl roku 1882 Georg Cantor. Ještě téhož roku se však Cantor svěřil Dedekindovi, že toto tvrzení nedovede dokázat. Cantor pravdivost tohoto tvrzení mnohokrát ohlásil, dokázáno však bylo až v letech 1896 resp. 1897 Friedrichem W. Schröderem a Felixem Bernsteinem.

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • BALCAR, Bohuslav; ŠTĚPÁNEK, Petr. Teorie množin. 2. vyd. Praha : Academia, 2001. 464 s. ISBN 80-200-0470-X. Kapitola I5, s. 78.