Cantorova-Bernsteinova věta

Cantorova-Bernsteinova věta (také Cantorova-Schröderova-Bernsteinova věta) je matematické tvrzení z oblasti teorie množin, které má zásadní význam pro srovnávání nekonečných mohutností.

Znění

Nejpřirozenější formulací Cantorovy-Bernsteinovy věty je následující:

Má-li množina A mohutnost menší nebo rovnu než množina B a množina B má mohutnost menší nebo rovnu než množina A, pak množiny A,B mají stejnou mohutnost.

Zapracujeme-li do této formulace i definici pojmu mohutnosti, dostaneme zápis o trochu méně srozumitelný, z nějž je však lépe vidět podstata problému:

Existují-li prosté zobrazení množiny A do množiny B, a prosté zobrazení množiny B do množiny A, pak existuje bijekce mezi těmito dvěma množinami.

Důkaz

Tato část článku potřebuje úpravy.

Můžete Wikipedii pomoci tím, že ji vhodně vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl, Encyklopedický styl a Odkazy.

Zobrazení h

Nechť $f:A\rightarrow B$ a $g:B \rightarrow A$ jsou prostá zobrazení. Definujeme zobrazení $h:P(A) \rightarrow P(A)$, kde P(A) je potenční množina A (množina všech podmnožin A), takto pro $U \subseteq A : h(U)=g[B-f[A-U]]$ (viz obrázek). Snadno je vidět, že h je monotónní (pro $U\subseteq V$ je $h(U) \subseteq h(V)$). Dále se dokáže, že každé monotónní zobrazení mezi P(A) a P(A) má pevný bod (množinu U takovou, že $U\,=\,h(U)$). K tomu stačí zvolit $U = \bigcup \{V \subseteq A; V\subseteq h(V)\}$. Nakonec, je-li $W \subseteq A$ pevný bod h, položíme $F(x)= \begin{cases} f(x) \mbox{ pro x}\in A-W \\ g^{-1}(x) \mbox{ pro x}\in W \end{cases}$. Snadno se ověří, že $F:A\rightarrow B$ je bijekce.

Historie

Prvním, kdo formuloval tvrzení Cantor-Bernsteinovy věty, byl roku 1882 Georg Cantor. Ještě téhož roku se však Cantor svěřil Dedekindovi, že toto tvrzení nedovede dokázat. Cantor pravdivost tohoto tvrzení mnohokrát ohlásil, dokázáno však bylo až v letech 1896 resp. 1897 Friedrichem W. Schröderem a Felixem Bernsteinem.