Brunova věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Brunova věta je tvrzení z oboru číselné teorie, které poprvé dokázal Viggo Brun v roce 1919 pomocí takzvaného Brunova síta. Podle této věty platí, že číselná řada, jejímiž prvky jsou součty převrácených hodnot prvočíselných dvojčat, je konvergentní a konverguje k číslu známému jako Brunova konstanta (obvykle značené B₂).

Jinak řečeno, platí:

 \sum\limits_{ p \, : \, p + 2 \in \mathbb{P} } {\left( {\frac{1}{p} + \frac{1}{{p + 2}}} \right)}  = \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{5}} \right) + \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{7}} \right) + \left( {\frac{1}{{11}} + \frac{1}{{13}}} \right) +  \cdots = B_2

Zajímavostí je, že není známo, zda je prvočíselných dvojčat konečný počet, tedy není ani známo, zda má řada výše konečný nebo nekonečný počet sčítanců.

Hodnota Brunovy konstanty[editovat | editovat zdroj]

Podle Richarda Crandalla a Carla Pomerance je dokázáno, že hodnota Brunovy konstanty leží v otevřeném intervalu (1,83;2,347).[1] Dominic Klyve horní hranici intervalu dále zpřesnil na 2,1754 za předpokladu platnosti zobecněné Riemannovy hypotézy.[2]

Thomas R. Nicely odhadl hodnotu Brunovy konstanty na 1,902160578 na základě výpočtu prvočíselných dvojčat do hodnoty 10^{14}.[3]

Desetinný rozvoj Brunovy konstanty je v databázi celočíselných posloupností OEIS zařazen pod kódem A065421.[4]

Zobecnění[editovat | editovat zdroj]

Český matematik Karel Koutský dokázal v roce 1933[5][6], že konvergence platí i pro obdobné řady, kde bereme dvojice prvočísel vzdálené o jinou pevně danou konstantu.[7]

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Brun's theorem na anglické Wikipedii.

  1. CRANDALL, Richard; POMERANCE, Carl. Prime Numbers: A Computational Perspective. [s.l.] : Springer, 2005. ISBN 0387252827.  
  2. KLYVE, Dominic. Explicit bounds on twin primes and Brun's Constant [online]. [cit. 2011-11-18]. Dostupné online.  
  3. NICELY, Thomas R.. Enumeration to 1.6*10^15 of the twin primes and Brun's constant [online]. 2010-01-18, [cit. 2011-11-18]. Dostupné online.  
  4. oeis:A065421
  5. KOUTSKÝ, Karel. Zobecnění Brunovy věty o dvojicích prvočísel. Rozpravy II. tř. Čes. Akademie. 1933, čís. 42.  
  6. KOUTSKÝ, Karel. Généralisation du Théorème de M. Brun sur les couples des nombres premiers. Bulletin internat. de l'Academie des Sciences Boheme. 1933.  
  7. SEKANINA, Milan. Život a dílo prof. Dr. Karla Koutského. Časopis pro pěstování matematiky. 1965, roč. 90, čís. 2, s. 250-256. Dostupné online.  

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]