Booleova logika

Booleova logika se zabývá logickými operacemi "+", "*" a "NOT()" na množině hodnot { 0, 1 }. Jejím rozšířením je pak Booleova algebra.

Definice logických funkcí

jeden argument

A		ID	NOT
0		0	1
1		1	0

dva argumenty

A	B		OR	NOR		AND	NAND		$\Rightarrow$	$\Leftrightarrow$		XOR
0	0		0	1		0	1		1	1		0
0	1		1	0		0	1		1	0		1
1	0		1	0		0	1		0	0		1
1	1		1	0		1	0		1	1		0

Jednovstupové

Identita

ID – vrací stejnou hodnotu, jako měl vstup. Platí:

• A = ID(A)
• ID( 0 ) = 0
• ID( 1 ) = 1

Negace

NOT – vrací opačnou hodnotu, než měl vstup. Platí:

• NOT( 0 ) = 1, komplement
• NOT( 1 ) = 0, komplement
• A = NOT ( NOT(A) ), involuce

Dvouvstupové základní

Disjunkce

OR – vrací součet hodnot vstupů. Platí:

• 0 + 1 = 1
• 1 + A = 1, agresivita, omezenost
• 0 + A = A, neutralita, omezenost
• A + A = A, idempotence
• A + B = B + A, asociativita
• A + NOT(A) = 1, komplement

Konjunkce

AND – vrací součin hodnot vstupů. Platí:

• 0 * 1 = 0
• 1 * A = A, neutralita, omezenost
• 0 * A = 0, agresivita, omezenost
• A * A = A, idempotence
• A * B = B * A, asociativita
• A * NOT(A) = 0, komplement

Základní pravidla

Párová pravidla platí i po vzájemné zámněně "+" za "*", zde jsou tyto operace vzájemně symetrické.

Absorbce

• A*(A+B) = A, protože (A+B) jen rozšiřuje už platný a užší fakt A, takže zbytečné.
• A+(A*B) = A, protože (A*B) jen zužuje už platný a širší fakt A, takže zbytečné.

Asociativita

• (A+B)+C = A+(B+C)
• (A*B)*C = A*(B*C)

Distributivita

• A*(B+C) = AB+AC
• A+(B*C) = (A+B)*(A+C), protože A+AB+AC+BC = A+A*(B+C)+BC = (A+A*D)+E = A+E, (substituce, pak absorbce závorky)

Neutrálnost 0 a 1

• A+0 = A
• A*1 = A

Idempotence

• A+A = A
• A*A = A

De Morganovy zákony

Logický součet a součin lze vyjádřit jeden pomocí druhého, při použití negace.

• $A + B = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}}$
• $A \cdot B = \overline{\overline{A} + \overline{B}}$

De Morganových zákony tedy definují negace logického součtu a součinu:

• $\overline{A + B}=\overline{A} \cdot \overline{B}$
• $\overline{A \cdot B}=\overline{A} + \overline{B}$

Dvouvstupové odvozené

NOR

NOR – negace součtu vstupů:

• A NOR B = NOT (A+B)
• A NOR B = NOT(A) * NOT(B)

NAND

NAND – negace součinu vstupů:

• A NAND B = NOT(A) + NOT(B)
• A NAND B = NOT (A*B)

Implikace

NOR – Buď při splněném předpokladu A vrací B, nebo z nesplněného předpokladu vyplývá cokoli a vrací 1:

• A $\Rightarrow$ B = NOT(A) + B = NOT( A*NOT(B) )

Ekvivalence

EQ – porovnává shodnost hodnot všech vstupů:

• A $\Leftrightarrow$ B = A*B + NOT(A)*NOT(B) = (A+NOT(B)) * (NOT(A)+B)

Exkluzivní disjunkce

XOR – porovnává unikátnost hodnoty každého vstupu:

• A XOR B = A*NOT(B) + B*NOT(A)

XOR versus NEQ

Obecně jsou XOR a nonekvivalence rozdílné funkce, ale pro dvě dvouhodnotové proměnné dále platí:

• ( A XOR B ) = NOT( A $\Leftrightarrow$ B )

nebo jinak,

• XOR(A,B) = NOT(EQ(A,B))

Související články

• Karnaughova mapa
• vytýkání