Kvartická rovnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
(přesměrováno z Bikvadratická rovnice)

Kvartická rovnice je algebraická rovnice čtvrtého stupně o jedné neznámé. Lze ji vyjádřit v obecném tvaru

,

kde .

U kvartických rovnic se používá následující terminologie:

  • – kvartický člen
  • – kubický člen
  • – kvadratický člen
  • – lineární člen
  • – absolutní člen

Bikvadratická rovnice[editovat | editovat zdroj]

Speciálním případem kvartické rovnice je rovnice bikvadratická, která má tvar

Řešení bikvadratické rovnice[editovat | editovat zdroj]

Bikvadratickou rovnici lze řešit pomocí substituce , čímž vznikne kvadratická rovnice

Řešení této kvadratické rovnice lze vyjádřit ve tvaru

Toto řešení použijeme pro získání hodnot , které jsou řešením původní bikvadratické rovnice, přičemž platí

Obecné řešení kvartické rovnice[editovat | editovat zdroj]

Obecné řešení kvartické rovnice lze najít analyticky jen velmi obtížně, jedná se o nejvyšší (čtvrtý) stupeň algebraické rovnice, která je řešitelná algebraicky ("v radikálech", tj. pomocí 4 základních aritmetických operací a odmocňování). Jako první nalezl řešení Ital Lodovico Ferrari v polovině 16. století, veden svým učitelem Girolamem Cardanem. Dnes existuje více metod řešení, např. následující postup Reného Descarta.

1. Obecnou kvartickou rovnici

.

Normujeme, tj. vydělíme rovnici vedoucím koeficientem a získáme rovnici s vedoucím koeficientem 1:

2. Zbavíme se kubického členu substitucí (posunutí proměnné)

a rovnice získá tzv. redukovaný tvar:

3. Rozložíme čtyřčlen na dva (normované) kvadratické trojčleny. Označme koeficienty ,, , . Má tedy platit:

.

Aby rovnost mnohočlenů platila, musí mít stejné koeficienty, což zjistíme roznásobením:

.

4. První nejjednodušší lineární rovnice je důsledkem požadavku na vymizení kubického členu. Dosadíme za do následujících rovnic

,

,

.

5. První dva z těchto vztahů ještě upravíme, aby vlevo zůstaly jen neznámé :

.

6. Následuje nejsložitější obrat. Zaměříme se nyní na neznámé . Pro součet, rozdíl a součin dvou libovolných čísel platí vztah

,

který použijeme na neznámé a v rovnicích 5. kroku:

7. Rovnici pro jedinou neznámou snadno upravíme:

8. Rovnice obsahuje pouze sudé mocniny neznámé . Substitucí získáme kubickou rovnici, tzv. kubickou resolventu

,

kterou vyřešíme.

9. Zjistili jsme neznámou a tedy i . Po dosazení číselné hodnoty do vztahů z 5. kroku snadno zjistíme hodnoty , . Tím jsme nalezli konkrétní číselné koeficienty obou trojčlenů

.

10. Kořeny získáme vyřešením kvadratické rovnice , zatímco kořeny vyřešením kvadratické rovnice .

11. Známe-li kořeny , pomocí vztahu z 2. kroku již snadno nalezneme kořeny původní rovnice .

Analytické řešení je sice přesné, ale někdy je výhodné hádat některé kořeny nebo se pokusit z hlavy rozložit aspoň částečně pětičlen, je-li řešení vidět hned, a tím zredukovat rovnici na nižší stupně.

Např. rovnici lze snadno rozložit na , popř. ještě dál na: , a tak uhodnout z hlavy kořeny , .


Obrázky[editovat | editovat zdroj]

Vzorce, které ukazují obecné řešení redukovaného tvaru rovnice (1).

Ještě složitější vzorce by vycházely pro normovaný tvar kvartické rovnice.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]