Biangulární souřadnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Biangulární souřadnice jsou soustava souřadnic v rovině určená úsečkou, kde poloha bodu je určena dvěma úhly. Tento typ souřadnic jako první zkoumal Lazare Nicholas Marguerite Carnot, který své výsledky publikoval v roce 1803.[1]

Poloha bodu[editovat | editovat zdroj]

V rovině je dána úsečka \overline{AB}\,\!. Pak poloha každého bodu C v této rovině (s výjimkou bodů ležících na přímce \overline{AB}\,\!) je jednoznačně dána úhly \angle CAB\,\! a \angle CBA\,\!.

Polohu bodů na přímce \overline{AB}\,\! nelze určit, jelikož úhly \angle CAB\,\! a \angle CBA\,\! pro různé body jsou stejné - nulové nebo přímé (180°).

Zaměření bodu v biangulárních souřadnicích[editovat | editovat zdroj]

Máme bod, zvaný C, v rovině a chceme jej vyjádřit v této soustavě.

Definice bodu c úhlovými souřadnicemi α a β v rovině.

Zvolme v rovině úsečku AB, jejíž délka je jednotková. Oba krajní body této úsečky spojme s bodem C.

Najdeme úhly \alpha a \beta, odpovídajíci úhlům CAB a CBA v tomto pořadí.

Úsečka AB a úhly \alpha a \beta tak určují polohu bodu v nové soustavě souřadnic a úhly \alpha a \beta jsou těmito souřadnicemi.

Převod na souřadnice kartézské[editovat | editovat zdroj]

x = \frac{c\ \operatorname{tg\,}\beta}{\operatorname{tg\,}\alpha + \operatorname{tg}\beta}

y = \frac{c\, \operatorname{tg\,}\alpha \,\operatorname{tg\,}\beta}{\operatorname{tg\,}\alpha + \operatorname{tg\,}\beta}

a pro zpětný převod souřadnic x-y na α - β použijeme rovnice:

\alpha = \operatorname{arctg2}\left(\frac{y}{x}\right),

\beta = \operatorname{arctg2}\left(\frac{y}{c - x}\right),

kde arctg2 je zobecnění funkce arkus tangens často užívané při inverzích vztahů v rovině.

Rovnice kuželoseček v úhlových souřadnicích[editovat | editovat zdroj]

V úhlových souřadnicích se dá jednoduše vyjádřit rovnice jistých kuželoseček v rovině.

Rovnice elipsy: \operatorname{tg\ }\beta = \frac{1}{\operatorname{tg\ }\alpha} + 1,5

Rovnice paraboly: \operatorname{tg\ } \beta = \frac {1}{\operatorname{tg\ }\alpha} + 2

Rovnice hyperboly: \operatorname{tg\ } \beta = \frac{1}{\operatorname{tg\ } \alpha} + 3

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. Michael Naylor and Brian Winkel: Biangular Coordinates Redux: Discovering a New Kind of Geometry College Mathematics Journal 41:1 September 12, 2009, s. 31