Bernoulliho rovnice

Bernoulliho rovnice je vztah užívaný v mechanice tekutin, který odvodil Daniel Bernoulli a který vyjadřuje zákon zachování mechanické energie pro ustálené proudění ideální kapaliny (Energie je v rovnici přepočtena na objemovou jednotku kapaliny.).

{\frac {1}{2}}\rho v^{2}+p+\rho u(\mathbf {x} )=\mathrm {konst.}

kde $\rho$ je hustota kapaliny, v je rychlost proudění, p je tlak v kapalině a u je potenciál vnějšího konzervativního pole mechanické síly (gravitační síly, unášivé setrvačné síly nebo jejich kombinace jako je tíhová síla) v daném bodě. První člen v Bernoulliho rovnici se nazývá dynamický tlak a představuje objemovou hustotu kinetické energie, druhý člen představuje tlakovou potenciální energii objemové jednotky kapaliny a třetí člen potenciální energii objemové jednotky kapaliny v silovém poli vnější konzervativní mechanické síly, v němž se kapalina nachází. Součet kinetické energie a potenciální energie (tlakové + vnější) je ve všech místech trubice stejný. Tato rovnice bývá často uváděna ve tvaru, který platí pro tíhové či homogenní gravitační pole:

{\frac {1}{2}}\rho v^{2}+p+\rho gh=\mathrm {konst.}

Platí, že pokud na kapalinu v klidu působí tíhová síla, je ve stejné hloubce v každém bodě stejný tlak. Pokud je kapalina v pohybu tak tento vztah neplatí. Slovy můžeme Bernoulliho jev popsat takto: v místě s větším průřezem má proudící kapalina větší tlak, ale menší rychlost, zatímco v místě s menším průřezem má menší tlak, ale větší rychlost (Fakt, že při větším průřezu je rychlost kapaliny menší je důsledkem rovnice kontinuity.).

Odvození pro nestlačitelnou kapalinu

Pokud kapalina o jednotkové hmotnosti m proudí ve vodorovné trubici o průřezu S rychlostí v, platí pro ni pohybová rovnice:

\mathrm {d} m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=-\mathrm {d} F.

Rozepíšeme tuto rovnici tak, aby v ní vystupovala hustota a průřez trubice

\rho S\,\mathrm {d} x\,{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=-S\,{\frac {\mathrm {d} F}{S}}=-S\,\mathrm {d} p.

S využitím vztahu

{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}\,{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}\,v={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {v^{2}}{2}}\right)

tato rovnice přejde na

\rho S\,\mathrm {d} x\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {v^{2}}{2}}\right)=-S\,\mathrm {d} p,

tedy

\rho \,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {v^{2}}{2}}+p\rho ^{-1}\right)=0,

což zintegrováním dá

\rho {\frac {v^{2}}{2}}+p=\mathrm {konst.}

Pokud se navíc nacházíme v potenciálu nějaké vnější konzervativní mechanické síly (např. gravitace), přičteme tento potenciál $\rho u$ k tlakovému potenciálu, čímž přímočaře získáme rovnici

\rho {\frac {v^{2}}{2}}+p+\rho u(\mathbf {x} )=\mathrm {konst.}

Poněkud přímější odvození vychází ze zákona zachování energie. U kapalin uvažujeme potenciální energii tlakovou E_p = pV.

Za předpokladu, že E_k + E_p + E_g = konst., potom platí

{\frac {1}{2}}mv^{2}+pV+mgh=\mathrm {konst.}

vztažením energie na jeden kilogram tekutiny (vydělením hmotností) dostaneme tzv. energetický tvar rovnice:

{\frac {1}{2}}v^{2}+{p \over \rho }+gh=\mathrm {konst.}

nebo tlakový tvar:

{\frac {1}{2}}\rho v^{2}+p+\rho gh=\mathrm {konst.}

případně výškový tvar:

{v^{2} \over 2g}+{p \over \rho g}+h=\mathrm {konst.}

Důsledky

Z Bernoulliho rovnice vyplývá, že tlak proudící kapaliny klesá s rostoucí rychlostí. Pokud plyn proudí trubicí dostatečnou rychlostí, tlak v tom místě se natolik zmenší, že toho lze využít například pro odsávání. Tomuto jevu se říká hydrodynamický paradox (hydrodynamické paradoxon) a využívá se ho například u rozprašovačů, natěračských stříkacích pistolí, ejektorů nebo v karburátoru.

Výtoková rychlost

Ze zákona zachování energie lze také odvodit vztah pro výtokovou rychlost kapaliny při vytékání z nádoby s hladinou ve výšce h, neboť lze říci, že výtoková rychlost kapaliny je stejná jako rychlost, kterou by kapalina získala při volném pádu z výšky h:

v={\sqrt {2gh}}

- tzv. Torricelliho vzorec

Související články