Begriffsschrift

Begriffsschrift, česky pojmové písmo, je název tenké knížky o logice od Gottloba Fregeho, vydané v roce 1879. Plný název knihy zní "jazyk formulí, napodobený na tom aritmetickém, čistého myšlení." Kniha zavádí logický kalkul obsahující jako novinku kvantifikaci proměnných.

Zavedený kalkul

Ve Fregeho kalkulu je devět axiomů, jež obhájil neformální argumentací: vzhledem k zamýšlenému významu vyjadřují intuitivní pravdy. Přeformulováno v současné notaci, axiomy jsou tyto:

1. $\vdash \ \ A \rightarrow \left( B \rightarrow A \right)$
2. $\vdash \ \ \left[ \ A \rightarrow \left( B \rightarrow C \right) \ \right] \ \rightarrow \ \left[ \ \left( A \rightarrow B \right) \rightarrow \left( A \rightarrow C \right) \ \right]$
3. $\vdash \ \ \left[ \ D \rightarrow \left( B \rightarrow A \right) \ \right] \ \rightarrow \ \left[ \ B \rightarrow \left( D \rightarrow A \right) \ \right]$
4. $\vdash \ \ \left( B \rightarrow A \right) \ \rightarrow \ \left( \lnot A \rightarrow \lnot B \right)$
5. $\vdash \ \ \lnot \lnot A \rightarrow A$
6. $\vdash \ \ A \rightarrow \lnot \lnot A$
7. $\vdash \ \ \left( c=d \right) \rightarrow \left( f(c) \rightarrow f(d) \right)$
8. $\vdash \ \ c = c$
9. $\vdash \ \ \left( \ \forall a : f(a) \ \right) \ \rightarrow \ f(c)$