Barvení grafu

Obarvený graf - 3 barvy

Vrcholy Petersenova grafu jsou obarvitelné třemi barvami

Barvení grafu je jednou z disciplín teorie grafů, která se zabývá přiřazováním barev (téměř vždy reprezentovaných přirozenými čísly) různým objektům v grafu - vrcholům, hranám, stěnám atd. Nejčastěji jde o barvení vrcholů, ostatní případy (jako např. barvení sousedících ploch) lze na tento jednoduše převést.

Definice

Nechť G = (V, E) je graf, k přirozené číslo. Zobrazení $b: V\rarr\{1, 2, \ldots, k \}$ nazveme obarvením grafu G pomocí k barev, pokud pro každou hranu $\{x, y\}\in E$ platí $b(x)\neq b(y)$. Barevnost grafu (také chromatické číslo) G je minimální počet barev potřebný pro obarvení G. Značí se $\chi (G)$.

Některé vlastnosti $\chi (G)$

1. $\chi (G)$ = 1 právě tehdy, skládá-li se G z izolovaných vrcholů (diskrétní graf)
2. $\chi (G)$ = |V| pro libovolný úplný graf
3. $\chi (G)\ge 3$ právě tehdy, obsahuje-li G kružnici liché délky (ekvivalentně, není-li G bipartitní)
4. $\chi (G)\le 4$ pro libovolný rovinný graf (viz slavný problém čtyř barev)
5. $\chi (G)\le \Delta(G) + 1$ (maximální stupeň uzlu v grafu + 1)