Ampérův zákon

Tento článek pojednává o Ampérovu zákonu celkového proudu. O Ampérově zákoně silového působení magnetického pole pojednává článek Ampérův silový zákon.

Elektrický proud, který prochází vodičem vytváří magnetické pole v okolí vodiče. Směr je orientován na základě pravidla pravé ruky.

Ampérův zákon celkového proudu (někdy psáno jako Ampèrův) je fundamentálním vztahem popisujícím magnetické pole a jeho vztah k elektrickému proudu, kterým je vytvářené.

Pro magnetické pole tak představuje obdobný základní zákon, jako je pro elektrostatiku zákon Gaussův.

Zákon byl nazván na počest zakladatele teoretické elektrodynamiky André-Marie Ampèra. Je tomu také proto, že ho lze odvodit z Ampèrem objeveného zákona pro magnetickou sílu. (Někdy se však zákon celkového proudu označuje jako "Oerstedův zákon".)

Zákon byl formulován pro stacionární elektromagnetické pole a James Clerk Maxwell ho dále zobecnil pro nestacionární pole ve své první sadě Maxwellových rovnic.

Vztahy označované jako Ampérův zákon

Jako Ampérův zákon bývá v české i zahraniční fyzikální literatuře označováno několik důležitých vztahů, týkajících se magnetického pole a jeho působení.

• Některé zdroje označují jako Ampérův zákon vztah, který stanoví sílu, kterou působí magnetické pole s danou magnetickou indukcí na element vodiče protékaného daným elektrickým proudem - tzv. Ampérův zákon pro sílu v magnetickém poli (někdy označován jako "Ampérův vzorec")
• Jiné publikace označují jako Ampérův zákon vztah pro sílu vzájemného magnetického působení dvou vodičů protékaných danými elektrickými proudy - tzv. Ampérův zákon pro sílu mezi dvěma vodiči (někdy označován jako "Ampérův vzorec" nebo, protože může být považován za spojení předchozího Ampérova silového zákona se zákonem Biotovým-Savartovým, je výjimečně označován jako "zákon Biotův-Savartův-Laplaceův-Oerstedův-Ampérův")
• Třetí skupina publikací pak označuje jako Ampérův zákon tzv. Ampérův zákon celkového proudu (někdy označovaný jako "Oerstedův zákon").

Ampérovy zákony silového působení magnetického pole najdete v článku Ampérův silový zákon.

Formulace zákona pro stacionární elektromagnetické pole

Všechny níže uvedené vztahy pro Ampérův zákon celkového proudu platí pro vakuum i pro látkové prostředí, je však nutno si uvědomit, že elektrické proudy resp. jejich hustoty na pravých stranách vztahů znamenají odlišné veličiny (i když se často zapisují stejným symbolem bez indexů)!

Ampérův zákon ve vakuu

Ampérův zákon lze zapsat pro stacionární elektromagnetické pole v integrálním tvaru vztahem:

$\oint_C \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l} = \mu_0 \;I_{\mathrm{celk}}$

kde

$\mathbf{B}$ je magnetická indukce,

$\mathrm{d}\mathbf{l}$ infinitezimální orientovaný element jednoduché uzavřené křivky C,

$I_{\mathrm{celk}} \,$ je celkový proud protékající skrz libovolnou plochu s hranicí C,

$\mu_0\!$ je permeabilita vakua

$\oint_C$ je uzavřený křivkový integrál křivky C, orientovaný ve směru toku elektrického proudu.

V oblastech prostoru, kde lze považovat prostorové rozložení elektrického proudu za spojité (v makroskopickém smyslu), popsatelné hustotou celkového elektrického proudu $\mathbf{j}_{\mathrm{celk}} \,$, lze Ampérův zákon přepsat do diferenciálního tvaru:

$\operatorname{rot}\,\mathbf{B} = \mu_0 \;\mathbf{j}_{\mathrm{celk}}$.

Ampérův zákon v látkovém prostředí

Výše uvedené vztahy pro vakuum platí i pro látkové prostředí, je však nutno uvážit, že v látce se nevyskytují pouze volné proudy $I_{\mathrm{vol}} \,$, ale také proudy vázané, které souvisejí s magnetizací látky; proto je nutno do celkového proudu započítat i magnetizační proudy $I_{\mathrm{mag}} \,$, tedy Ampèrem formálně zavedené elementární proudy, kterými jsou generovány magnetické dipólové momenty částic látky a jimi způsobená magnetizace. (Pro fenomenologickou elektrodynamiku je takový popis plně ekvivalentní popisu pomocí magnetických dipólů, třebaže naráží na interpretační problémy u částic dosud považovaných za bodové.) Je obvyklé zákon přepsat do tvaru s explicitně vyjádřenými pouze volnými proudy:

Protože platí pro magnetizační proudy odpovídající magnetizaci $\mathbf{M}$ vztah

$I_{\mathrm{mag}} = \oint_C \mathbf{M} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l}$,

tak po jeho dosazení do Ampérova zákona celkového proudu

$\oint_C \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l} = \mu_0 \left (I_{\mathrm{vol}} + I_{\mathrm{mag}} \right )$

lze jednoduchou úpravou obdržet vztah:

$\oint_C \left (\frac{\mathbf{B}}{\mu_0} - \mathbf{M}\right ) \cdot \mathrm{d}\mathbf{l} = I_{\mathrm{vol}}$

a po zavedení intenzity magnetického pole $\mathbf{H} = \frac{\mathbf{B}}{\mu_0} - \mathbf{M}$ ho zjednodušit na Ampérův zákon pro volné proudy:

$\oint_C \mathbf{H} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l} = I_{\mathrm{vol}}$

V oblastech prostoru, kde lze považovat prostorové rozložení elektrického proudu za spojité (v makroskopickém smyslu), popsatelné hustotou elektrického proudu, lze Ampérův zákon přepsat do diferenciálního tvaru:

$\operatorname{rot}\,\mathbf{H} = \mathbf{j}_{\mathrm{vol}}$.

Důsledky a využití

Princip superpozice

Protože rotace je lineární operátor, plyne z Ampérova zákona celkového proudu, že pro stacionární magnetické pole platí princip superpozice: Stacionární magnetická pole (reprezentovaná magnetickou indukcí $\mathbf{B} \,$) vytvořená jednotlivými proudy se vzájemně neovlivňují a lze je tedy (vektorově) sčítat.

Magnetický obvod

Magnetický obvod s magnetomotorickým napětím $U_{\mathrm{m}} = N\cdot{I}$

Ampérův zákona ve formulaci pro intenzitu magnetického pole je analogický vztahu pro napětí v uzavřené proudové trubici, jen namísto intenzity elektrického pole vystupuje intenzita magnetického pole a obdobou elektromotorického napětí způsobujícího napěťový spád v trubici je celkový volný proud. Této analogie lze s výhodou využít pro řešení magnetických soustav v látkovém prostředí.

Zvolíme nyní integrační křivku tak, aby byla totožná s magnetickou indukční čarou. Kolem této čáry si představíme trubici konstantního kolmého průřezu $S \,$ takové velikosti, aby v celém tomto průřezu bylo možno považovat magnetickou indukci za konstantní. Tato trubice přitom může procházet prostředím s různou permeabilitou $\mu \,$ – integrál lze rozdělit na součet integrálů přes části s konstantní permealilitou. Ampérův zákon pak můžeme přepsat na tvar:

$I_\mathrm{vol} = \sum_i \int_{l_i} \mathbf{H} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l} = \Phi \sum_i \int_{l_i} \frac{\mathrm{d} l }{\mu_i S}$ ,

kde $\Phi \,$ je magnetický indukční tok, v tomto případě roven prostému součinu indukce a plochy průřezu (obojí je konstantní).

Definujeme-li magnetomotorické napětí vztahem

$U_{\mathrm{m}} = I_\mathrm{vol} \,$

a tzv. magnetický odpor i-té části vztahem:

$R_{\mathrm{m}i} = \int_{l_i} \frac{\mathrm{d} l }{\mu_i S}\;$ ,

dostaneme obdobu Ohmova zákona, zvanou Hopkinsonův zákon:

$U_{\mathrm{m}} = \Phi \sum_i R_{\mathrm{m}i} \,$.

Díky analogii tak můžeme s magnetickými obvody pracovat stejně jako s elektrickými, včetně použití Kirchhoffových zákonů.

Magnetostatické pole

V oblastech prostoru bez volných elektrických proudů se Ampérův zákon ve formulaci pro intenzitu magnetického pole v diferenciálním tvaru redukuje na tvar:

$\operatorname{rot}\;\mathbf{H} = 0 \,$.

Z něho vyplývá, že magnetostatické pole generované pouze zmagnetovanými tělesy je pole potenciálové a lze k němu zavést skalární magnetický potenciál $\varphi_{\mathrm{m}} \,$. Budou pak platit vztahy obdobné vztahům v elektrostatice:

$\mathbf{H} = - \operatorname{grad}\;\varphi_{\mathrm{m}}$, resp.

$\mathbf{B} = - \mu_0 \;\operatorname{grad} \;\varphi_{\mathrm{m}} + \mu_0 \;\mathbf{M}$.

Rozšíření originálního zákona: Ampérova-Maxwellova rovnice

Platnost Ampérova zákona ve tvaru

$\oint_C \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l} = \mu_0 \;I_{\mathrm{celk}}$ resp. $\operatorname{rot}\,\mathbf{B} = \mu_0 \;\mathbf{j}_{\mathrm{celk}}$

lze rozšířit i na nestacionární elektromagnetické pole. Jak ukázal Maxwell, je v takovém případě do celkového proudu nutno započítat navíc tzv. posuvný proud, aby byl zákon v souladu se zákonem zachování elektrického náboje. Posuvný proud je označení pro součet polarizačního proudu s hustotou $\mathbf{j}_{\mathrm{pol}}=\frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}$ a tzv. Maxwellova proudu s hustotou $\mathbf{j}_{\mathrm{Max}}=\varepsilon_{0}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$, kde $\varepsilon_{0} \,$ je permitivita vakua a $\mathbf{P} \,$ je elektrická polarizace.

Označíme-li $\mathbf{D} \,$ elektrickou indukci, lze zákon přepsat do tvaru pro volné proudy – do tzv. Ampérovy-Maxwellovy rovnice (označované též jako "zobecněný Ampérův zákon", nebo jako "první Maxwellova rovnice"):

$\oint_l \mathbf{H} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l} = \int_S (\mathbf{j}_{\mathrm{vol}}+ \frac{\partial}{\partial t}\mathbf{D}) \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}$

resp. v diferenciálním tvaru:

$\operatorname{rot}\,\mathbf{H} = \mathbf{j}_{\mathrm{vol}} + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t}$.

Související články

• André-Marie Ampère
• James Clerk Maxwell
• Maxwellovy rovnice
• Elektromagnetismus
• Biotův-Savartův zákon
• Lorentzova síla

Externí odkazy

• Doc. Miloš Steinhart: Od Maxwellových rovnic k optice. - od Zobecněný Ampérův zákon I (PowerPoint)