Algebraický prvek

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Algebraický prvek je pojem z matematiky, respektive z jejího podoboru zvaného obecná algebra. Jedná se o zobecnění pojmu algebraické číslo pro jiná ŧělesa než pro těleso racionálních čísel. Je-li L nadtěleso tělesa K, pak prvek a z tělesa L se nazývá algebraický nad K, pokud existuje nenulový mnohočlen g(x) s koeficienty z K takový, že a je jeho kořenem, tedy že g(a)=0. Prvky nadtělesa L, které nejsou algebraické nad K, se označují transcendentní nad K.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Následující podmínky jsou pro libovolný prvek a z nadtělesa L ekvivalentní:

Dále lze ukázat, že součet, rozdíl, násobek i podíl algebraických prvků nad K je zase algebraickým prvek nad K. Z toho plyne, že množina všech algebraických prvků nad K z tělesa L sama tvoří těleso, které obsahuje K a samo je obsaženo v L.

Pokud je a algebraické nad K, pak existuje mnoho nenulových mnohočlenů splňujících definici. Lze mezi nimi ovšem vybrat jediný, který z nich má nejmenší stupeň a jeho vedoucí koeficient je rovný jedné. Ten se označuje minimální polynom a jeho podoba obsahuje mnohé informace o povaze a.

Tělesa, která nelze rozšířit o další algebraické prvky, se nazývají algebraicky uzavřená. Příkladem takového tělesa je těleso komplexních čísel.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Algebraic element na anglické Wikipedii.

Literatura[editovat | editovat zdroj]