Achillovo číslo

Achillovo číslo je mocné číslo, které je sice mocné ale ne silné číslo. Kladné celé číslo n je mocné číslo jestliže platí že pokud p dělí n, pak p² také dělí n. Všechna Achillova čísla jsou mocná. Na druhou stranu ne všechna mocná čísla jsou také čísla Achillova, pouze ta, která mohou být reprezentována jako m^k, kde m a k jsou kladná celá čísla větší než 1.

Achillova čísla jsou pojmenována po hrdinovi Achillovi jenž byl hrdinou Trojské války. Jsou tedy silná, ale nedokonalá.

Posloupnost Achillových čísel

Číslo n = p₁^a₁p₂^a₂…p_k^a_k je mocné číslo jestliže min(a₁, a₂, …, a_k) ≥ 2. Pokus navíc nsd(a₁, a₂, …, a_k) = 1 pak se jedná o Achillovo číslo.

Prvních 500 Achillových čísel:

72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968, 972, 1125, 1152, 1323, 1352, 1372, 1568, 1800, 1944, 2000, 2312, 2592, 2700, 2888, 3087, 3200, 3267, 3456, 3528, 3872, 3888, 4000, 4232, 4500, 4563, 4608, 5000 Posloupnost {{{1}}} na OEIS.

Nejmenší dvojice Achillových čísel je:

5425069447 = 7³ × 41² × 97²

5425069448 = 2³ × 26041²

Příklady

108 je mocné číslo. Jeho prvočíselný rozklad je 2² · 3³, tedy jeho faktory prvočíselného rozkladu jsou prvočísla 2 a 3. Oba 2² = 4 a 3² = 9 jsou dělitelé čísla 108. Nicméně, 108 nemůže být zapsáno pomocí výrazu m^k, kde m a k jsou kladná celá čísla větší než 1, takže 108 je Achillovo číslo.

Nakonec 784 není Achillovým číslem. Je to mocné číslo a protože čísla 2 a 7 nejsou pouze jeho faktory prvočíselného rozkladu větší než jedna, ale také 2² = 4 a 7² = 49 jsou jeho dělitelé, je to silné číslo:

$784=2^4 \cdot 7^2 = (2^2)^2 \cdot 7^2 = (2^2 \cdot 7)^2 = 28^2. \,$

Ale není to číslo Achillovo.

Zdroje

V tomto článku je použit překlad textu z článku Achilles number na anglické Wikipedii.