Abelova sumace

V matematice je Abelova sumace, pojmenovaná po Nielsi Henriku Abelovi, přepisem n-tého členu posloupnosti na rozdíl dvou po sobě jdoucích členech součtové řady dané touto posloupností.

Definice

Mějme dvě posloupnosti $(a_n)$ a $(b_n)$, kde n=1,2,3,... a definujme $A_n=\sum_{k=1}^n a_k$.
Tedy $a_{k} = A_{k} - A_{k-1}$

Potom
$\sum_{k=1}^n a_k b_k = \sum_{k=1}^n(A_{k} - A_{k-1})b_{k} =$

$= \sum_{k=1}^n A_{k}b_{k} - \sum_{k=1}^n A_{k-1}b_{k} = \sum_{k=1}^n A_{k}b_{k} - \sum_{k=0}^{n-1}A_{k}b_{k+1}$

A protože $A_0 = 0$, tak můžeme druhou sumu indexovat od jedničky.

$\sum_{k=1}^n A_{k}b_{k} -\sum_{k=1}^{n-1}A_{k}b_{k+1} = \sum_{k=1}^{n-1} A_{k}(b_{k} - b_{k+1}) + A_n b_n$

Což je výsledek.

Použití

Abelovy sumace se používá zejména v matematických důkazech, když potřebujeme upravit součin dvou posloupností. Využíváme jí např. při důkazech kriterií konvergence součtové řady - Dirichletovo a Abelovo kriterium.