Abelova sumace

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

V matematice je Abelova sumace, pojmenovaná po Nielsi Henriku Abelovi, přepisem n-tého členu posloupnosti na rozdíl dvou po sobě jdoucích členech součtové řady dané touto posloupností.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Mějme dvě posloupnosti  (a_n) a  (b_n), kde n=1,2,3,... a definujme A_n=\sum_{k=1}^n a_k.
Tedy a_{k} = A_{k} - A_{k-1}

Potom
\sum_{k=1}^n a_k b_k = \sum_{k=1}^n(A_{k} - A_{k-1})b_{k} =

= \sum_{k=1}^n A_{k}b_{k} - \sum_{k=1}^n A_{k-1}b_{k} = \sum_{k=1}^n A_{k}b_{k} - \sum_{k=0}^{n-1}A_{k}b_{k+1}

A protože A_0 = 0 , tak můžeme druhou sumu indexovat od jedničky.

\sum_{k=1}^n A_{k}b_{k} -\sum_{k=1}^{n-1}A_{k}b_{k+1} = \sum_{k=1}^{n-1} A_{k}(b_{k} - b_{k+1}) + A_n b_n

Což je výsledek.

Použití[editovat | editovat zdroj]

Abelovy sumace se používá zejména v matematických důkazech, když potřebujeme upravit součin dvou posloupností. Využíváme jí např. při důkazech kriterií konvergence součtové řady - Dirichletovo a Abelovo kriterium.