Vrh šikmý

Vrh šikmý je pohyb tělesa v homogenním gravitačním poli, při kterém počáteční rychlost svírá s horizontem nenulový elevační úhel.

Pokud vrh probíhá ve vakuu, pohybuje se těleso po parabole, ve vzduchu (tzn. s nezanedbatelným odporem vzduchu) po tzv. balistické křivce.

Matematický model

Předpokládejme, že těleso má počáteční rychlost v₀ svírající s vodorovným směrem elevační úhel α. Následný pohyb (ve vakuu, resp. při zanedbání odporu vzduchu) se skládá z rovnoměrného přímočarého pohybu touto rychlostí v původním směru (tímto směrem položíme osu x) a z volného pádu (tedy rovnoměrně zrychleného pohybu) ve směru gravitačního zrychlení g, který lze ztotožnit s pohybem ve směru osy y. Ve směru osy z tedy pohyb neprobíhá (trajektorií tedy bude rovinná křivka).

Proto platí:

$x = x_0 + v_0 t \cos{\alpha}\,$,

$y = y_0 + v_0 t \sin{\alpha} - \frac{1}{2} g t^2$.

Obvykle je vhodné položit počátek soustavy souřadnic do bodu $[x_0,y_0]$.

Z uvedených rovnic lze určit maximální dosaženou výšku:

$y_{\max} = y_0 + \frac{1}{2} \frac{v_0^2 \sin^2{\alpha} }{g}$

a délku vrhu (tedy vzdálenost, po které těleso klesne do původní výšky), neboli dostřel:

$d = \frac{v_0^2}{g} \sin{2\alpha}$

Při pohybu v prostředí s nezanedbatelným odporem opisuje těleso asymetrickou balistickou křivku, u které je délka vrhu kratší než u pohybu při zanedbání odporu vzduchu.

Speciální případy

• Volný pád - Počáteční rychlost je nulová a pro rychlost dostáváme vztah $v=gt$. Dráha, kterou těleso urazí od počátku do času $t$ je $s=\frac{1}{2}gt^2$.

• Svislý vrh vzhůru - Celý pohyb probíhá pouze ve směru osy y (elevační úhel $\alpha=\frac{\pi}{2}$). Počáteční rychlost $v_0$ je nenulová (pro nulovou počáteční rychlost by se jednalo o volný pád). Pro rychlost pak dostaneme vztah $v=v_0-gt$. Vzdálenost (okamžitá výška) tělesa nad bodem, z něhož bylo vrženo, je dána vztahem $s=v_0t-\frac{1}{2}gt^2$. V nejvyšším bodě výstupu je rychlost nulová. Odsud získáme dobu výstupu $T=\frac{v_0}{g}$. Dosazením do vztahu pro dráhu dostaneme po úpravě výšku výstupu $h=\frac{v_0^2}{2g}$. Z nejvyššího bodu trajektorie padá těleso zpět volným pádem a bodu, z něhož bylo vrženo dosáhne za dobu, která se rovná době výstupu.

• Vodorovný vrh - Při vodorovném vrhu směřuje počáteční rychlost ve směru osy x (elevační úhel $\alpha=0$). Délka vrhu je vzdálenost za kterou dojde ke změně y-ové souřadnice o velikost $h$. Platí pro ni doba letu $T=\sqrt{\frac{2h}{g}}$. Dosazením doby letu do vztahu pro x-ovou souřadnici získáme délku vrhu $d=v_0\sqrt{\frac{2h}{g}}$.

Související články

• Vrh vodorovný
• Vrh svislý
• Pohyb
• Gravitace