Šťastné číslo

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Šťastné číslo je v matematice definováno následujícím způsobem: vezměme libovolné kladné celé číslo, nahraďme jej součtem druhých mocnin jeho cifer a tento proces opakujme, dokud se nedostaneme k číslu jedna (kde se proces zastaví) nebo dokud se nám v posloupnosti neobjeví některé číslo dvakrát (tzn. posloupnost se zacyklí). Ta čísla, která tímto způsobem skončí jedničkou, nazýváme šťastná, ostatní pak nešťastná.

Formálněji řečeno: mějme číslo n=n_0 a definujme posloupnost n_1, n_2, ... kde n_{i+1} je součet druhých mocnin cifer čísla n_i. Poté n je šťastné právě tehdy, když existuje i takové, že n_i = 1.

Pokud je nějaké číslo šťastné, pak také všechny členy jemu příslušné posloupnosti jsou také šťastnými čísly a vice versa.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Například 7 je šťastné číslo a přísluší mu tato posloupnost:

72 = 49
42 + 92 = 97
92 + 72 = 130
12 + 32 + 02 = 10
12 + 02 = 1

číslo 1663 je také šťastné číslo:

12 + 62 + 62 + 32 = 82
82 + 22 = 68
62 + 82 = 100
12 + 02 + 02 = 1

i číslo 13, obecně pokládané za nešťastné,[kým?] je dle této definice šťastné číslo:

12 + 32 = 10
12 + 02 = 1

Chování posloupnosti[editovat | editovat zdroj]

Když n není šťastné, pak se jeho posloupnost nedostane k 1. Namísto toho se zacyklí (např. pro číslo 4):

4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, ...

Pro pochopení tohoto faktu nejprve poznamenejme, že pokud nm cifer, poté součet druhých mocnin těchto cifer může být nejvýše 81m (to nastane, pokud všechny cifry jsou devítky).
Pro m=4 a více je

n\geq10^{m-1}>81m

tedy každé číslo větší než 1000 se definovaným postupem zmenšuje. Jakmile se pohybujeme v číslech menších než 1000, číslo, jehož součet druhých mocnin jeho cifer je největší, je 999, které dá výsledek 3 krát 81, což je 243.

  • V rozmezí 100 až 243, číslo 199 dává největší hodnotu, a to 163.
  • V rozmezí 100 až 163, číslo 159 dává největší hodnotu, a to 107.
  • V rozmezí 100 až 107, číslo 107 dává největší hodnotu, a to 50.

Zaměříme-li se pečlivěji na čísla v intervalech [244,999], [164,243], [108,163] a [100,107], zjistíme, že každé číslo větší než 99 se naším procesem rychle zmenšuje. Tedy bez ohledu na to, s kterým číslem začneme, se nakonec dostaneme na číslo menší než 100. Každé číslo z intervalu [1,99] je buď šťastné, a nebo se zacyklí.

Šťastná prvočísla[editovat | editovat zdroj]

Šťastné prvočíslo je takové šťastné číslo, které je zároveň prvočíslem. Šťastná prvočísla menší než 500 jsou:

7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293, 313, 331, 367, 379, 383, 397, 409, 487 (Sekvence A035497 v OEIS).

Všechna čísla, a tedy i všechna prvočísla tvaru 10^n + 3 a 10^n + 9 pro n větší než 0 jsou šťastná. Je tomu tak proto, že:

  • Všechna tato čísla mají nejméně 2 cifry.
  • První cifrou je vždy 1.
  • Poslední cifrou je vždy 3 nebo 9.
  • Všechny další cifry jsou 0 (jejich druhá mocnina je taktéž 0, a tedy součet nijak neovlivní).
    • Posloupnost při přidání 3 je: 12 + 32 = 10 → 12 = 1
    • Posloupnost při přidání 9 je: 12 + 92 = 82 → 64 + 4 = 68 → 100 → 1

Palindromické prvočíslo 10150006 + 7426247×1075000 + 1, které má 150007 cifer, je taktéž šťastné číslo, neboť obsahuje mnoho nul, které součet neovlivňují a zbylá čísla dávají 1^2 + 7^2+4^2+2^2+6^2+2^2+4^2+7^2 + 1^2 = 176, což je šťastné číslo. Toto prvočíslo bylo objeveno Paulem Joblingem v roce 2005.

Šťastná čísla v jiné než desítkové soustavě[editovat | editovat zdroj]

Definice šťastných čísel je závislá na desítkové soustavě. Tato definice může být rozšířena pro ostatní číselné soustavy.

K vyznačení čísel v jiných soustavách můžeme používat číslo v pravém dolním indexu, které representuje námi zvolenou soustavu. Například 100_2 reprezentuje číslo 4 ve dvojkové soustavě. V každé číselné soustavě existují šťastná čísla. Např. čísla

1_b,10_b,100_b,1000_b,...

jsou všechna šťastná pro jakoukoliv číselnou soustavu b.

Ze stejného důvodu jako výše se můžeme přesvědčit, že každé nešťastné číslo v číselné soustavě b vede k zacyklení v číslech menších než 1000_b. Můžeme využít toho, že když n < 1000_b, pak součet druhých mocnin cifer čísla n v soustavě b je menší nebo roven

3(b-1)^2.

Lze dokázat, že tento výraz je vždy menší než b^3 = 1000_b. Z toho lze usoudit, že jakmile se posloupnost dostane do čísla menšího než 1000_b, zůstane v tomto rozmezí, a musí se tedy zacyklit (neboť čísel menších než 1000_b je jen konečně mnoho) či se dostat na 1.

Ve dvojkové soustavě jsou všechna čísla šťastná. Všechna čísla ve dvojkové soustavě menší než 10002 jsou totiž šťastná:

 111_2 \rightarrow 11_2 \rightarrow 10_2 \rightarrow 1
 110_2 \rightarrow 10_2 \rightarrow 1
 101_2 \rightarrow 10_2 \rightarrow 1
 100_2 \rightarrow 1.

Dvojková soustava je tedy tzv. šťastná číselná soustava. Další takovou soustavou je soustava čtyřková.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Happy number na anglické Wikipedii.

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]